已知函数fx=lnx,gx=a(x2-x)，hx=fx-gx.若a=1，求函数hx的值。若函数在y=hx在[1，

Question

已知函数fx=lnx,gx=a(x2-x)hx=fx-gx.若a=1求函数hx值若函数y=hx[1穷)单调递减求a取值范围

Answer 1

答:
f(x)=lnxg(x)=a(x²-x)
h(x)=f(x)-g(x)=lnx-ax²+ax
若a=1则:
h(x)=lnx-x²+xx>0
求导:
h'(x)=1/x-2x+1=-(2x²-x-1)/x
令h'(x)=-(2x²-x-1)/x=0
即:2x²-x-1=(2x+1)(x-1)=0
解:x=1(x=-1/2符合x>0舍弃)
0<x<1h'(x)>0h(x)增函数;
x>1h'(x)<0h(x)减函数;
所:x=1h(x)取极值h(1)=0-1+1=0
所:h(x)极值0
h(x)=lnx-a(x^2-x)
h'(x)=1/x-a(2x-1)=(-2ax^2+ax+1)/x<0x>=1恒立
即2ax^2-ax-1>0x>=1立
设m(x)=2ax^2-ax-1,称轴x=a/4a=1/4,a>0且[1,+穷)单调增.
即m(1)=2a-a-1>0,a>1