已知ab是单位向量 a×b=0 若向量c满足（c-a）×（c-b）=0, 则c的绝对值的最大值

Question

如题所述

Answer 1

|c-(a+b)|²=|c|²+|a+b|²-2c·(a+b)
=|c²+2-2√2|c|cos<c,a+b>=1
即：cos<c,a+b>=(|c|²+1)/(2√2|c|)∈[-1,1]
(|c|²+1)/(2√2|c|)≤1，可得：√2-1≤|c|≤√2+1
(|c|²+1)/(2√2|c|)≥-1自动满足，不用解
故|c|的最大值：√2+1
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当然也可以用数形结合的方法：
在单位圆上任意找2个垂直向量，画出他们的和，即正方形的对角线
以正方形的对角线的终点为圆心再画一个半径为1的圆
则c在此圆上运动，当c与正方形的对角线同向时，|c|最大，为：√2+1

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示

Answer 3

设ab=5，ac=3，∠c=90°。bc=√(ab²-ac²)=√(5²-3²)=4。作rt⊿abc的外接圆。
设m为ac中点，n为ab中点，延长mn交圆于o。cos∠aoc=cos∠abc=bc/ab=4/5。
am=ac/2=3/2，mo=mn+no=mn+nb=bc/2+ab/2=4/2+5/2=9/2。
a
×
c
≤|oa|×|oc|cos∠aoc=oa²×4/5=(am²+mo²)×4/5=[(3/2)²+(9/2)²]×4/5=18。