请问根号下1+sinx的平方在0到pi/2上的定积分怎么求呢？

Question

如题所述

Answer 1

如何求∫(0→pi/2)√(1+sin²x)dx的定积分？

该定积分是属于椭圆积分。可以按下列步骤计算：

第一步，该积分用t=sinx替换，变换后得到 ∫(0→1)√(1+t²)/√(1-t²)dt，

第二步，将得到变换后的积分化为椭圆积分的形式，即√(2)×E(1/√(2),pi/2)

第三步，使用完全椭圆积分表（一般数学手册上都有），查得 E(1/√(2),pi/2)=1.3506

第四步，计算得到 ∫(0→pi/2)√(1+sin²x)dx=√(2)×E(1/√(2),pi/2)=√(2)×1.3506=1.910

详细计算过程如下：

Answer 2

精确的解析解算不出来的，这里用辛普森四点公式求数值解
令f(x)=√(1+sin^2x)
令x0=0，x1=π/6，x2=π/3，x3=π/2，步长h=π/6
∫(0,π/2) √(1+sin^2x)dx
≈(3h/8)*[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)]
=(π/16)*[f(0)+3f(π/6)+3f(π/3)+f(π/2)]
=(π/16)*[1+(3√5)/2+(3√7)/2+√2]
≈1.91

Answer 3

分享一种解法，利用第一类欧拉积分、第二类欧拉积分及其相互关系求解。
令sinθ=x^(1/4)。原式=(1/4)(1+√x)[x^(-3/4)]dx/√(1-x)=(1/4)[B(1/2,1/4)+B(1/2,3/4)。
原式=[(1/4)/√(2π)][Γ²(1/4)+4Γ²(3/4)]。