广义导数与广义函数是数学领域中一个非常重要的概念。在经典分析中，导数的定义基于函数在某一点处的极限，而广义导数则通过广义函数的概念进行推广，使得我们可以对更广泛的对象进行求导，包括那些在传统意义上无法导数的函数或分布。
广义函数，又称为分布，是一种数学工具，它允许我们用泛函的方式处理函数。广义函数的概念在解决偏微分方程、量子力学等领域中有着广泛的应用。广义函数的定义是基于其与经典函数的积分性质，即广义函数可以通过它与经典函数的积分来定义和操作。
定义2中，D*(R)表示的是一类特殊类型的广义函数。这里的F(x)是C∞(R)空间中的函数，即无限可微函数，而Fn(x)是一类局部收敛的序列，它们在n趋向于无穷时收敛到F(x)。这种定义方式允许我们考虑更加奇异的函数，甚至是不能在传统意义上进行导数处理的对象。
定义3描述了如何将局部可积的函数f映射到广义函数Tf。局部可积意味着函数在任何有限区域内的积分是有限的。Tf通过积分操作将f与任意广义函数F在R上的乘积进行积分来定义，这实际上是将f视为一个泛函，即一个接受函数并返回实数的运算。
定义4中，δ函数是一个特殊的广义函数。δ函数在数学中常被描述为一个集中于原点的“尖锐”函数，其在所有函数F的积分中只在F在原点的值上才有意义。具体来说，对于任何广义函数F，δ函数与F的积分仅在x=0处有非零值，且等于F在x=0处的值。这种性质使得δ函数在数学分析、物理学，特别是量子力学中扮演着关键角色，因为它允许我们进行点源的处理，即使这些源在传统意义上是无穷大或无法定义的。
通过上述定义，我们不仅扩展了导数的概念，使之能够作用于更广泛的对象，而且引入了广义函数这一强大的数学工具，它在理论和应用数学中发挥着不可或缺的作用。广义导数与广义函数的概念为我们提供了一个更广阔的数学框架，使我们能够解决传统方法无法处理的问题，从而推动了数学和相关科学领域的深入发展。