常用求导求极限方法

Question

如题所述

Answer 1

常用求导与极限方法概要

导数的基本定义基于函数的局部线性逼近:

对于函数 [公式]，导数的定义可表示为：

[公式]

常见的等价无穷小替换有：

[公式]
[公式]
[公式]
[公式]

这些实际上是泰勒公式展开的一阶形式。

掌握以下函数的导数是基础：

[公式]
[公式]
[公式]

极限问题中，以下几点是关键：

几个重要极限


[公式]
[公式]
[公式] [公式]



夹逼定理：处理无穷次方和无穷项求和问题。
单调有界原理：递推数列极限判定利器。

洛必达法则的使用策略包括：

优先计算能直接求的，再用洛必达法则。
[公式]
利用等价无穷小替换，具体步骤略。

利用泰勒公式求极限时，只需注意展开到与分母相同阶数即可：
[公式]

对于无穷项问题，还有其他策略：

①夹逼定理：通过放缩找到极限。
[公式]
②泰勒公式：利用公式 [公式] [公式] [公式]
…

中值定理提醒我们，对于函数 [公式]，在端点 [公式] 之间的分析很重要：
[公式] (简化方法)

最后，需要注意特殊情况：
- 连乘函数导数计算时：
[公式]

- 左极限与右极限有潜在联系：
[公式] [公式]
- 和差形式时，务必注意等价无穷小的正确表示：
[公式]

在处理极限问题时，务必确保极限的拆分和等价无穷小的使用是合适的，避免在极限不存在时操作。