收敛半径是什么

Question

如题所述

Answer 1

我可以给你举一个这样具有通用性的反例。假设级数∑AnX^n 的收敛半径为R，则该级数的级数的偶数项构成的级数必然收敛，且收敛半径为R （同理该级数的奇数项构成的级数也必然收敛，且收敛半径为R ），以这个偶数项级数作为幂级数，则有A2n≠0，A2n+1=0 ，显然|A2n+1/A2n|=0 ，|A2n+2/A2n+1|不存在 ，于是对于该幂级数也必然有 lim|An+1/An|不存在，但是该幂级数是收敛的，且收敛半径是R 。实际上取任意有限个收敛半径为R的幂级数的某些项交错组成新的幂级数，这个新的幂级数的收敛半径仍然为R，但是 lim|An+1/An|却不一定存在 。这就是这句话蕴含的深刻内涵！定理1 （阿贝尔第一定理） 1） 若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在 都收敛。 2） 若幂级数①在x1发散，则幂级数①在 都发散。 定理2：有幂级数①，即 ，若 则幂级数①的收敛半径为 定理3（阿贝尔第二定理） 若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间 都一致收敛。 定理4 若幂级数 与 的收敛半径分别是正数 r1与r2，则r1= r2 定理5 若幂级数 的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间 连续。 定理6 若幂级数 的收敛半径r>0,则 它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即 定理7 若幂级数 的收敛半径r>0,则 则它的和函数在区间 (-r , r) 可导，且可逐项微分。

Answer 2

定义幂级数 f 为：。其中常数 a 是收敛圆盘的中心，cn 为第 n 个复系数，z 为变量。收敛半径 r 是一个非负的实数或无穷大（），使得在 | z �6�1 a | < r 时幂级数收敛，在 | z �6�1 a | > r 时幂级数发散。具体来说，当 z 和 a 足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z - a| = r 的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z 可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z 都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

Answer 3

在数学中，一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内（严格小于时），幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。