什么是拐点,数学中有什么特别意义?

Question

目前市面所谓经济学家的拐点说法是错误的，比如y=x^3,则二阶导数，y”=6x,f(0)=0，是拐点，但是f(0)右边仍然是升函数，只是上升的速率加速了，并不是从f（0）开始变成降函数了！ 王石之流讲拐点，他不懂数学，更不懂经济学，王石本来就是个当兵的，部队退伍后到深圳做生意，并未受过正规的高等教育，他当然不懂拐点，弄错概念在情理之中！
拐点一词，是一个数学名词，就是函数（连续）的二阶导数为零的点。从函数图像上来讲，就是函数有上凸变下凹或下凹变上凸的点，所表示的几何意义是函数的上升或下降的变化速度率。

Answer 1

拐点"是一个数学名词，学过高等数学的人都熟悉它。如图，平面曲线在上升阶段其一阶导数为正，可以取两种不同的上升形态。上凸（b）时二阶导数为负，下凹（a）时二阶导数为正。

平面曲线在下降阶段其一阶导数为负，可以取两种不同的下降形态，上凸（c）时二阶导数为负，下凹（d）时二阶导数为正。

当平面曲线经历从上凸至下凹或从下凹至上凸的转折点，此点便称为"拐点"，如图。

也就是说，"拐点"是二阶导数从正到负或从负到正的转折点，"拐点"的二阶导数为零。因此，"拐点"一词并不意味着上升或下降过程的结束，或者由上升转为下降、由下降转为上升，而仅仅标志着上升或下降的形式发生了变化。

如果要表达上升或下降过程的结束，或者由上升转为下降、或者由下降转为上升，应该用另外一个词，就是"极点"。这是其一。

其二，"拐点"是一个点，从几何上说既无长度又无面积更无体积，从时间上说它刻画的是"时刻"而不是"时间"，更不能引伸为"时期"。因此，用"拐点"一词着重的应该是它关于"转折"的标志性含义。

关于市场转折的更深一层含义在本网《专题回顾》栏目2004年12月"也谈降价"一文阐述得更为清楚。其中一段引用了2004年6月5日的文章"六月市场的新拐点"中的一段话：

经过连续前两年的火爆，巳经将汽车消费的能量消化得差不多了，一个新的消费能量还需时日积聚，而现在就处在这一种积聚的过程之中。任何商品的消费能力都有一个上升与下降的交替循环过程，上升的过程酝酿着下降的因素，下降的过程又酝酿着上升的因素，是一个辩证的观点。下降与上升的演化过程可能需要一个比较长的时间，它有自己的变化规律，不可能因一个北京车展扭转。（本网于2004年6月提出这个观点，后来被广泛使用）当然，这个时期也是一个洗盘的过程，强者越强形成支柱力量，弱者越弱可能熬不住被淘汰出局，这是一个不以人们意志为转移的市场规律。"。两周后传来南、北大众汽车全线降价的消息，汽车市场完成了第一个伴随降价而发展的历程。

这里的关键是：以降价促发展的时期结束，其他因素将取而代之成为左右市场的主流因素。也就是说，以南北大众降价为标志，降价已经不能促发展了。汽车进入百姓家以降价为敲门砖，可以看成是简单的一维因素，发展到一定的阶段将迎来一个多元化的发展时期。用数学的话来讲，要从二维视野（"拐点"）转变为立体视野（"鞍点"），才能看得清楚。

"鞍点"在三维空间中定义（图中的坐标原点），经过"鞍点"平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向，每个平面与曲面相交得到对应的曲线，代表该方向的发展轨迹。不同的方向有的上升，有的下降。

Answer 2

是事物发展过程中运行趋势或运行速率的变化。

在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点！！
当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。
在生活中，拐点多用来说明某种情形持续上升一段时间后开始下降或回落，——这句话是错的，这是极值点、稳定点或者叫驻点；
所以，有了经济的拐点，放低长的拐点，以及股市的拐点。

TJ涛注解：
若函数y=f(x)在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x)的拐点。另外，如果c是拐点，必然有f''(c)=0；反之则不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但是0两侧全是凸，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点。本回答被网友采纳

Answer 3

你说的是对的，王石所说的不是拐点，是极值点。