证明:若f(x)在x.的某邻域内有二阶连续导数当h充分小时,f(x.)<1/2[f(x.+h)+f(x.-h)]恒成立,试证f''(x.)>=0

Question

证明:若f(x)在x.的某邻域内有二阶连续导数当h充分小时,f(x.)<1/2[f(x.+h)+f(x.-h)]恒成立,试证f''(x.)>=0

Answer 1

假设f``(x)<0,则f`(x)在x的这个领域内单调减少不妨设x>0,h>0(若x<0,取h<0)
f(x+h)-f(x)=f`(a)x a属于(x,x+h)
f(x)-f(x-h)=f`(b)x b∈(x-h,x)
两式相减有f(x+h)+f(x-h)-2f(x)=[f`(a)-f`(b)]x<0(根据f`(x)的单调性f`(a)<f`(b))
这与,f(x.)<1/2[f(x.+h)+f(x.-h)]恒成立矛盾，所以假设不成立

f``(x)>=0追问

我看题导数公式的形式 有没有直接证出来的方法 你这种我看答案能懂自己做就想不到

追答

f``(x)=lim(h-->0)f`(x+h)-f`(x)/h=lim(h-->0)f``(ξ)=f``(x) ξ介于x,x+h之间
f(x+h)=f(x)+f`(x)h+f``(ξ1)h^2/2+
f(x-h)=f(x)-f`(x)h+f``(ξ2)h^2/2
当h-->0 ξ1-->x ξ2-->x
相加就有f(x+h)+f(x-h)-2f(x)=h^2f``(x)>0==>f``(x)>=0(还简单一些)

Answer 2

用拉格朗日中值定理。。。