求数列通项的几种方法
近年的高考中出现了给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式）求通项公式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧，以供教学参考.
1、叠加法
数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+……+f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.
例1.在数列{an}中，a1=－1，an+1= an+2n，求an（n≥2）.
解：由条件，a2=a1+2×1,a3=a2+2×2……，an= an－1+n(n�0�1－1)，以上n－1个式子相加化简得：an�0�1�0�1=a1+n(n－1)=n�0�1�0�12－n－1.
2、叠乘法
数列有形如an=f(n)�6�1an－1的解析关系，而f(1)�6�1f(2)……f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an.
例2．在数列{an}中， ≥2），求 .
解：由条件 an－1,
这n－1个式子相乘化简得：
.
3、待定系数法
数列有形如 、b为常数）的线性递推关系，可用待定系数法求得an.
例3．在数列{an}中， 求 .
解：在 的两边同加待定数 ，得 +（ －1）/3），令 得 数列{ 是公比为3的等比数列,
∴an =
4、分解因式法
当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.
例4．已知 数列 满足 （n∈ ），且有条件 ≥2）.
解：由得：
对n∈ ， 再由待定系数法得：
∴
5、求差法
数列有形如 的关系（非递推关系），可考虑用求差 后，再用其它初等方法求得
例5．设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的自然数 与2的等差中项等于 与2的等比中项：
（1）写出数列 的前3项；
（2）求数列 的通项公式.
出题者的意图是：通过（1）问求出数列前3项再猜想出通项公式；（2）再用数学归纳法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单.
解：（1）略
（2）由条件，得
即 ①
②
①－②得 ，
即
分解因式得
对于 ∈ ＞0，∴
∴ 是公差为4的等差数列，
6、倒数法
数列有形如 的关系，可在等式两边同乘以 先求出
例6．设数列 满足 求
解：原条件变形为 两边同乘以 得 .
∵
∴
7、复合数列构成等差、等比数列法
数列有形如 的关系，可把复合数列化为等差数列或等比数列，再用其它初等方法求得
例7．在数列 中， 求
解：由条件
∴
∴ 再用多式相加法可得：
8、循环法
数列有形如 的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出
例8．在数列 中，
解：由条件
即
即每间隔6项循环一次.1998=6×333，
∴
9、开方法
对有些数列，可先求 再求
例9．有两个数列 它们的每一项都是正整数，且对任意自然数 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列，
解：由条件有：
由②式得： ③
④
把③、④代入①得： ，
变形得 ）.
∵ ＞0，∴ － .
∴ 是等差数列.因
∴ 故
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考