动量守恒中的临界问题

Question

为什么对于相互作用中两物体出现相距"最近""最远"或"上升到最高点"问题，临界条件是两物体速度相等？速度相等是怎么推出来的？

Answer 1

动量守恒中的临界问题

动量守恒定律是力学中的一个重要规律。在运用动量守恒定律解题时，常会遇到相互作用的几个物体间的临界问题，求解这类问题要注意分析临界状态，把握相关的临界条件。现将与动量守恒定律相关的临界问题作一初步的分析和讨论。
一. 涉及弹簧的临界问题
对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度必相等。
例1. 如图（1）所示，在光滑的水平面上，用弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物体以6m/s的速度向右运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C静止在前方。A与C碰撞后将粘在一起运动，在以后的运动中，弹簧达到最大弹性势能时，C的速度为多少？

图（1）
解析：A、B以6m/s的速度向右运动，并与C发生碰撞。由于碰撞时间很短，可认为碰撞仅发生在A与C之间，碰后A与C具有共同速度。
由动量守恒定律有：
得：
A和C碰后合并为一个物体，由于物体B的速度大于A和C的速度，弹簧将被压缩。接着，物体B做减速运动，A和C做加速运动。当三个物体速度相同时，弹簧的压缩量最大，此时弹簧的弹性势能达到最大。
由动量守恒定律有：
得：

二. 涉及最大高度的临界问题
在物体滑上斜面（斜面放在光滑水平面上）的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动。物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零。
例2. 如图（2）所示，质量为M的槽体放在光滑水平面上，内有半径为R的半圆形轨道，其左端紧靠一个固定在地面上的挡板。质量为m的小球从A点由静止释放。若槽内光滑，求小球上升的最大高度。

图（2）
解析：设小球由A滑到最低点B时的速度为，上升的最大高度为h。
由机械能守恒定律： ①
∴ ②
小球在向上运动过程中，M和m组成的系统水平方向总动量守恒，设它们在最高点时水平方向的共同速度为，则有：
③
整个过程中系统的机械能守恒：
④
由②~④式得小球上升的最大高度：。

三. 涉及追碰的临界问题
两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度必须大于乙物体的速度，即，而甲物体刚好追不上乙物体的临界条件是。
例3. 甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车的总质量共为M=30kg，乙和他的冰车的总质量也是30kg，甲推着一个质量为m=15kg的箱子，和他一起以大小为的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相碰，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度（相对于冰面）将箱子推出，才能避免与乙相撞。
解析：当甲把箱子推出后，甲的运动存在三种可能：①继续向前，方向不变；②停止运动；③反向运动。以上三种推出箱子的方法，由动量守恒定律可知，第一种推法箱子获得的速度最小，若这种推法能实现目标，则箱子获得的速度最小，设箱子的速度为，取甲运动方向为正方向，则对甲和箱子在推出过程运用动量守恒定律：
①
箱子推出后，被乙抓住，为避免甲、乙相撞，则乙抓住箱子后必须后退，对乙和箱子运动动量守恒定律得：
②
要使甲、乙不相撞，并使推出箱子的速度为最小速度的临界条件为：
③
解以上三式得：

四. 涉及子弹打木块的临界问题
子弹打木块是一种常见的模型。子弹刚好击穿木块的临界条件为子弹穿出时的速度与木块的速度相同。
例4. 静止在光滑水平面上的木块，质量为M、长度为L。一颗质量为m的子弹从木块的左端打进。设子弹在打穿木块的过程中受到大小恒为的阻力，要使子弹刚好从木块的右端打出，则子弹的初速度应等于多大？
解析：取子弹和木块为研究对象，它们所受到的合外力等于零，故总动量守恒。由动量守恒定律得：
①
要使子弹刚好从木块右端打出，则必须满足如下的临界条件：
②
根据功能关系得：
③
解以上三式得：

Answer 2

此问题关键不在于碰撞或者能量或者力，而在于基础的速度问题。

最近，最远，都是指以其中一个物体A作为参考系，另一个物体B的相对速度从非0变成0时的那个点，
相对速度不为0，说明二者要么在远离，要么在靠近。
远离到极限之后，然后停止或开始靠近，这个点就是最远点；
反之，靠近到极限，然后停止或开始远离，这个点就是最近点。
极限的那个点，不论接下来是停止还是反向运动，就好像从1降低到-1必然会跨过0这条线一样，相对速度一定是0。
你可以参考一下抛物线的顶点的竖向速度来进行类比，以助思考。

关于最高点，这里稍微涉及到能量的问题
最高点处的第一特征是，重力势能最大，换句话说，爬升到这一点之前重力一直在做负功，物体竖向速度一直在降低。从这一点开始降落（如果有这个过程）以后重力一直在做正功，物体竖向速度一直在增加。显然，物体的竖向速度在最高点是0。
那么如果是类似于斜面这样的模型，物体的速度（也是指以其中一个物体A作为参考系的相对速度）有个特点，那就是竖向速度和横向速度成正比，如果竖向速度是0，那么横向速度也是0，整体速度就是0。于是A与B的相对速度在斜面滑行的最高点是0。

所以，这里要额外提一下，并不是所有的最高点都是这样的，如果是圆弧轨道，除非最高点在下半圆（包括左右两顶点）的范围内，否则最高点的相对速度必然不是0，两物体速度必然不相等。关于这一点不在本问题的讨论范围内。本回答被提问者和网友采纳