设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2的x次方

Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时,f(x)=2的x次方，若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f（x）的三次方，恒成立，则实数t的取值范围是

Answer 1

设x<0
-x>0
f(-x)=2^(-x)
因为f(-x)=-f(x)
f(x)=-2^(-x)
当x>0
f(x)^3=(2^x)^3=2^(3x)=f(3x)
当x<0
f(x)^3=(2^(-x))^3=2^(-3x)=f(3x)
所以f(x)^3=f(3x)
f(x+t)≥f(x)^3=f(3x)
对于f(x)在R上单调递增，所以上式可得: x+t≥3x => t>=2x
因为在[t,t+1]上恒成立，所以 2x的最大值是2(t+1)
要使不等式恒成立，则t必须大于等于2x的最大值,即t>=2(t+1)
=>t<=-2
综上所述:t的取值范围是(负无穷,-2]追问

当x<0
f(x)^3=(2^(-x))^3=2^(-3x)=f(3x)？【不是-f（3x）嘛】

追答

这个打错了
当x<0
f(x)^3=(-2^(-x))^3=-2^(-3x)=f(3x)