豪斯多夫空间的变体

Question

如题所述

Answer 1

术语“豪斯多夫”、“分离”和“预正则”还可以用于在拓扑空间上的变体如一致空间、柯西空间和收敛空间。在所有这些例子中统一的概念特征是网或滤子(在它们存在的时候)的极限是唯一的（对于分离空间）或在拓扑同构意义下唯一的(对于预正则空间)。
这显现出一致空间和更一般的柯西空间总是预正则的，所有在这些情况下豪斯多夫条件简约为 T0 条件。还有完备性在其中有意义的空间，豪斯多夫性在这些情况下是完备性的自然伙伴。特别是，一个空间是完备的，当且仅当所有柯西网有至少一个极限，而一个空间是豪斯多夫的，当且仅当所有柯西网都有最多一个极限(因为只有柯西网可以首先有极限)。