矩阵A是一个n*n的对称矩阵， 1. 证明A+A‘也是对称矩阵

Question

'矩阵A是一个n*n的对称矩阵， 1. 证明A+A‘也是对称矩阵。（' 表示转置）
2. 证明x'*A*x=x'*(0.5*(A+A'))*x 对于所有的x∈Rn都成立。
3. 证明x'*A*x≥0对于所有的x∈Rn都成立，当且仅当对称矩阵A+A‘是半正定矩阵。

万分感谢！
有一个地方写错了，A只是一个n阶矩阵，没有对称这个条件。

Answer 1

证明: 1. 因为 (A+A')' = A'+(A')' = A'+A = A+A'
所以 A+A' 是对称矩阵
2. 二次型 x'Ax 的矩阵即 0.5(A+A')
所以 x'Ax = x'(0.5*(A+A'))x
3. 由(2)知 x'(0.5*(A+A'))x >=0
所以 A+A‘是半正定矩阵追问

第二步和第三步还是不太明白，能细说一下吗？谢谢

追答

2. 比如 A=
1 2
3 4
则 x'Ax = x1^2+2x1x2+3x2x1+4x2^2 = x1^2+4x2^2 + 5x1x2
这个二次型的矩阵即
1 5/2
5/2 4
= (A+A')/2

3. 你看看教材怎么定义半正定的就知道了

Answer 2

1. A=[a ij]
因为对称,所以a ij= aji
A'=[aji]

A+A'=[aij+aji] =[aji+aij]
所以A+A'也是对称

2.
A+A'=[aij+aji]=[aij+aij]=2[aij]=2A
x'*(0.5*(A+A'))*x)=x*(0.5(2A))*x=x'*A*x

3.不懂