函数y=x√(1+x^2）的导数是?(要详细解答过程

Question

如题所述

Answer 1

y=x√(1+x^2）
按乘积求导，局部有复合求导
y'=√(1+x)²+x*[(1+x²)^(1/2)]'
=√(1+x)²+x*1/2*[(1+x²)^(-1/2)]*(1+x²)'
=√(1+x)²+x*1/2*[1/√(1+x²)]*2x
=√(1+x)²+x²/√(1+x²)追问

我也觉得是这样 可是为什么老师给出的答案是（1+2x^2)√(1+x^2)/(1+x^2)

追答

对的，继续通分的话
=√(1+x)²+x²/√(1+x²)
=(1+x²+x²)/√(1+x²)
=[(1+2x²)√(1+x²)]/(1+x²) (分母有理化，其实没必要）

追问

√(1+x^2）根号里面是x的平方 是在括号里面的 不是在括号外面的啊...

追答

这有什么问题吗？你不会通分吗？
=√(1+x)²+x²/√(1+x²)
=(1+x)²/√(1+x²)+x²/√(1+x²) (前面的项上下同时乘以√(1+x²)呀）
=(1+x²+x²)/√(1+x²)
=(1+2x²)/√(1+x²) 【分母有理化：分子分母同时乘以√(1+x²)】
=[(1+2x²)√(1+x²)]/(1+x²)

追问

y'=√(1+x)²+x*[(1+x²)^(1/2)]'第一步这里 x导了等于1 然后乘√(1+x^2）结果应该是y'=√(1+x^2）+x*[(1+x²)^(1/2)]'这样才对啊

追答

我是按照你说的做的，是我书写错了。
y'=√(1+x²)+x*[(1+x²)^(1/2)]'
=√(1+x²)+x*1/2*[(1+x²)^(-1/2)]*(1+x²)'
=√(1+x²)+x*1/2*[1/√(1+x²)]*2x
=√(1+x²)+x²/√(1+x²)
=(1+x²)/√(1+x²)+x²/√(1+x²) (前面的项上下同时乘以√(1+x²)呀）
=(1+x²+x²)/√(1+x²)
=(1+2x²)/√(1+x²) 【分母有理化：分子分母同时乘以√(1+x²)】
=[(1+2x²)√(1+x²)]/(1+x²)

追问

谢谢!!

追答

用电脑还是不熟练

Answer 2

追问

我也觉得是这样 可是为什么老师给出的答案是（1+2x^2)√(1+x^2)/(1+x^2) 是怎么通分的呢 你能不能写给我看?谢谢