求n阶导数y=xln（x-1）的n阶导数 用莱布尼兹公式怎么做 或者其他的方法

Question

如题所述

Answer 1

y'=ln(x-1)+x/(x-1)
y''=1/(x-1)+[(x-1)-x]/(x-1)^2=1/(x-1)-1/(x-1)^2
y'''=-1/(x-1)^2+1/[2(x-1)^3]
y^(4)=1/[2(x-1)^3]-1/[2*3*(x-1)^4]
设y^(n)=(-1)^n/[(n-2)!(x-1)^(n-1)]-(-1)^(n+1)/[(n-1)!(x-1)^n] (n>1)
则[y^(n)]'=y^(n+1)=(-1)^(n+1)/[(n-2)!(n-1)(x-1)^n]-(-1)^(n+2)/[(n-1)!*n(x-1)^(n+1)]
=(-1)^(n+1)/[(n+1-2)!(x-1)^(n+1-1)]-(-1)^(n+1+1)/[(n+1-1)!(x-1)^(n+1)]
根据数学归纳法的定义,可知
设y^(n)=(-1)^n/[(n-2)!(x-1)^(n-1)]-(-1)^(n+1)/[(n-1)!(x-1)^n] (n>1)