高考数学题

Question

设正项数列dn的前n项和为sn，有存在一个M＞0，对任意n∈N+，sn＜M恒成立，则称dn为收敛数列。已知an为等差数列，a1=2，公差d为质数。bn为等比数列，b1=1，公比q的倒数为正偶数，且满足a2+a3+a4+a5=(1/b3)+(1/b4)+(1/b5)
1.求数列an和bn的通项公式.
2.判断an*bn是否是收敛数列？
3设cn=dn / [ (1+d1)(1+d2）……(1+dn) ]，试判断数列dn是否是收敛数列？
后面2问题呢？

Answer 1

1.a2+a3+a4+a5=(1/b3)+(1/b4)+(1/b5)
4a1+10d=1/q1²+1/q1³+1/q1四次方
4(2.5d+2)=(1/q1)²[1+1/q1+(1/q1)²]
4正偶数和完全平方数，(1/q1)²是正偶数，2.5d+2是质数,1+1/q1+(1/q1)²是质数
∴(1/q1)²=4,2.5d+2=1+1/q1+(1/q1)²
∴q1=1/2,d=2
∴an=2n,bn=0.5^(n-1)

2.an×bn=2n×0.5^(n-1)=n×0.5^(n-2)
Sn=2+2+1.5+……+(n-2)0.5^(n-4)+(n-1)0.5^(n-3)+ n×0.5^(n-2)
0.5Sn=1+ 1+0.75+……………… +(n-2)0.5^(n-3)+(n-1)0.5^(n-2)+n×0.5^(n-1)
两式相减0.5Sn=2+1+0.5+……+0.5^(n-3)+0.5^(n-2)-n×0.5^(n-1)
Sn=8-(2+n)×0.5^(n-2)＜8
∴an×bn是收敛数列

3.cn=dn / [ (1+d1)(1+d2)……(1+dn) ]
≤dn / [ (1+d1)(1+d2)……(1+dn-1) dn ]
=1/ [ (1+d1)(1+d2)……(1+dn-1) ]
＜1/(d1+d2+d3+……+dn-1)
cn+1＜1/(d1+d2+d3+……+dn-1+dn)
d1+d2+d3+……+dn-1+dn＜1/cn+1
∴dn是收敛数列

Answer 2

记1/q=2k,k为正整数

       a2+a3+a4+a5=(1/b3)+(1/b4)+(1/b5)

      即8+10d=4k^2(1+2k+4k^2)

       4+5d=2k^2(1+2k+4k^2)

     而等式右边显然是偶数，故4+5d为偶数，则5d为偶数，

    d既为偶数也为质数，故d只能为2

    从而k=1,q=1/2

an=2n

bn=1/2^(n-1)

2.

an*bn=n/2^(n-2)

a1b1=2,a2b2=2

an*bn的前n(n>2)项和sn=2+2+3/2+4/2^2+…+n/2^(n-2)

sn/2=1+2/2+3/2^2+…+n/2^(n-1)

两式相减得到sn=2-1/2^n<2

不妨取m=3,故对任意n,有sn<m,故an*bn是收敛数列