素数分布规律一直是人类探索素数的伟大目标。自欧拉、高斯到黎曼，许多数学家都做出了巨大努力和贡献。高斯发现的素数定理，表明素数分布与对数积分的关系，但对不大于给定数值的素数个数的预测结果，其准确率不高。揭示素数分布的秘密，找到一个可准确计算预测素数个数的普适公式，是当前素数研究的紧迫任务
什么是素数。
素数是我们小学就学习过的数学概念。
素数是指在大于1的自然数中，除了1和该数自身外，无法被其他自然数整除的数。 否则称为合数。
人们经常把它类比成化学中的基本元素，化学中有100多种基本元素，这些基本元素可以构成我们这个色彩缤纷的世界。比如 两个氢原子和一个氧原子可以构成水分子， 甲烷就是 一个碳原子和四个氢原子
等等。同样的道理，一个大于1的自然数，要么是素数，要么是几个素数的乘积。
在数论中，还有一个概念，任何一个合数，都可以分解成几个素数的乘积，而且合数的因数分解是唯一的。这个理论非常重要，它更加明确的确立了素数在数论体系中的地位，就像水分子只能分解为两个氢原子和一个氧原子，一个合数，只能分解为唯一的一组素数的乘积。比如 120 只能分解为 2*2*2*5*3。
关于这个因数分解的唯一性的证明，可以参考 加州理工大学Tom Apostol 教授的数学分析，第二版的第六页。
素数有多少呢？
这问题早在约公元前300年时，就已被欧几里得解决。他发现素数有无穷多个。而且证明起来也非常巧妙。
不妨假设我们目前发现了 m 个素数，（2， 3， 5， 。。。pm ）
现在考虑它们的积再加1 ： （2 * 3 * 5 * … .. * pm + 1），
这是一个比刚才已经发现的m 个素数都大的数，也是一个自然数。它是素数吗？
如果是，那我们就得到一个新的素数。注意一下，这里构造出来的数 （2 * 3 * 5 * … .. * pm + 1），和刚刚已知的最大素数pm 之间其实还是会有其他素数的。比如 假设我们目前只知道2 ， 3，5 这三个素数，通过刚刚的公式可以得到 2*3*5+1=31 ， 31 是一个比我们已知的2 和3 还大的素数，但是在已知素数（2， 3，5）和求得的素数（31）之间，7，11， 13， 23，等等也是素数。
如果不是，那么 既然这个数按照定义不能被 那些m 个素数整除，必然存在其他的素数，可以整除它，所以还是会存在新的没发现的素数。比如，目前我们发现2，3，5，7，11，13 这几个素数，然后通过 2x3x5x7x11x13+1=30031，我们发现30031 不是素数，但是30031不能被 2，3，5，7，11，13 整除，所以必然存在其他素数。结果我们发现 30031=59*509. 所以我们还是可以发现新的素数。