戴德金定理的证明过程：
将属于A的一切有理数集记成A，属于A'的一切有理数集记成A'，容易证明，集A及集A'形成有理数域内的一个分划。
这个分区A|A'决定了一个实数β。它应该属于A组或A'组之一。假定β落在下组A内，则实现了情形1，而β是组A的最大数目。如果不是这样，则在该组中可以找到比β大的α0的另一个数。现在α0与β之间插入有理数r，使α0>r>β。r亦属于A，所以它必须是A的一部分。
这导致了一个谬论，即有理数确定β的戴德金分割的下组，却又大于β。因此，就证明了戴德金定理的正确性。类似地，如果假定β落在上组A'内，同样可以证明。实际上，也可以通过实数域的定义来确定上界n。那么很容易证明n是实数β。
扩展资料：
戴德金定理的提出：
戴德金于1872年提出了戴德金定理。在构造欧几里德几何公理系统时，可以选择它作为连续公理。在希尔伯特公理集I、II和III的基础上，阿基米德的公理和康托的公理等价于DADE金的原理。
实数集R的任一戴德金分划(S，T)，唯一地确定实数A（称为中介数或中介点），它是S的最大数目（此时T中没有最小值）或T的最小数目（此时S中没有最大值）。
参考资料来源：百度百科-戴德金原理
参考资料来源：百度百科-戴德金定理
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第1个回答 2013-01-31
戴德金分割,康托尔的基本列（即柯西列）假设,魏尔斯特拉斯无穷十进小数表示都是相互平行的公理，用来定义实数的，它们分别反映实数的连续性，完备性和紧性，可以相互论证。
第2个回答 推荐于2016-12-02
对R的任一分划(A|B)，可以假设B中无最小数，那么这意味着对于任意的a属于A，b属于B，有a小于c小于b且c不属于R。由于此时(A|B)是R的分划，Q又是R的真子集，则(A|B)也是Q的分划。但由R的定义，即R是Q的所有分划的集合知，Q只有两种分划，即有理分划和无理分划。这与c不属于R，即c=(A|B)既不是有理分划也不是无理分划相矛盾。所以假设不成立，B中必有最小值。本回答被提问者采纳
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