设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件:
①当x∈R时,f(x)的最小值为0,且f(x-1)=f(-x-1)恒成立;
②当x∈(0,5)时,2x≤f(x)≤4|x-1|+2恒成立.
(I)求f(1)的值;
(Ⅱ)求f(x)的解析式;
(Ⅲ)求最大的实数m(m>1),使得存在实数t,只要当x∈[1,m]时,就有f(x+t)≤2x成立.
分析:
(1)由当x∈(0,5)时,都有x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立可得f(1)=1;
(2)由f(-1+x)=f(-1-x)可得二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,于是b=2a,再由f(x)min=f(-1)=0,可得c=a,从而可求得函数f(x)的解析式;
(3)可由f(1+t)≤1,求得:-4≤t≤0,再利用平移的知识求得最大的实数m.
解答:
(1)∵x∈(0,5)时,都有x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立,
∴1≤f(1)≤2|1-1|+1=1,
∴f(1)=1;
(2)∵f(-1+x)=f(-1-x),
∴f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)的对称轴为x=-1,
两道题的 条件不一样 ~ 数据 变了~