微积分 求下面曲面所围成的几何体的体积

Question

如题所述

Answer 1

求下面曲面所围成的几何体的体积：x+y+z=3，x²+y²+z²=1，x=0，y=0，z=0.

解：这是在第一卦限内，在一个棱长为3的四面体内，挖去一个球心在原点，半径为1的(1/8)的球

体后余下得空间，其体积【锥体用直角坐标计算，球体用球坐标计算】

V=∫∫∫dxdydz-∫∫∫r²sinφdφdθ

=【0，3】∫ dx【0，3-x】∫ dy【0，3-x-y】∫dz -【π/2，0】∫ sinφdφ【0，π/2】∫dθ【0，1】 ∫ r²dr

=【0，3】∫ dx【0，3-x】∫(3-x-y)dy-(1/3)-【π/2，0】∫ sinφdφ【0，π/2】(1/3)∫dθ

=【0，3】∫dx(3y-xy-y²/2)【0，3-x】-【π/2，0】(π/6)∫sinφdφ

=【0，3】∫[3(3-x)-x(3-x)-(3-x)²/2]dx-(π/6)cosφ【π/2，0】

=【0，3】∫[9-3x-3x+x²-(1/2)(9-6x+x²)]dx

=【0，3】∫[9/2-3x+x²/2)]dx-(π/6)=[(9/2)x-3x²/2+x³/6]【0，3】-(π/6)

=27/2-27/2+27/6-π/6=9/2-π/6