函数项级数与函数序列的一致收敛

Question

1.函数项级数与函数序列的一直收敛有什么不同
2.是不是函数项级数的收敛于s（x），这里的x是变量，然后函数序列收敛，收敛于f（x），这里的f（x）是定值？？
3.上实例 第一例：fn(x)=x^n/(1+x^n)（0=<x<=1）答案说x=1处不一致收敛
第二例：通项为an(x)=nx/(1+n^5*x^2),但是却在正无穷大到付无穷一致收敛
第三例：通项为an(x)=x^n*(1-x),在[0,1]上不一致收敛
我就奇怪了，答案都不给详细说理过程，只说了一个显然，可是为什么呢？？？若按2的推理，第一例与第二例就行得通，可第三例呢？？？求大神指教

Answer 1

函数项级数与函数列的关系可类比数项级数与数列的关系.
函数项级数可以视为函数列的特例, 对应"级数部分和"这个函数列.
反过来, 对任意函数列, 存在唯一的函数项级数, 使函数列为级数的部分和.
因此二者在本质上是一样的.

函数列(或函数项级数)有很多种收敛的概念, 比较基本的是逐点收敛: 即在任意x处收敛.
但是逐点收敛难以保持函数的性质, 例如[0,1]上的连续函数列x^n就逐点收敛到一个不连续的函数.
为此要考虑所谓的一致收敛, 大意是不但在每个x处都收敛, 而且收敛的速度还是一致的.
严格的说就是对任意ε > 0, 存在N, 使|fn(x)-f(x)| < ε对任意n > N和x成立.
这里一个N同时控制了所有x处的收敛性, 即所谓一致.
对比一下逐点收敛: 对任意ε > 0与x, 存在N, 使|fn(x)-f(x)| < ε对任意n > N成立.
这里的N是根据ε和x取的, 是可能随x不同而不同的.

所以问题不在于函数列和函数项级数的区别, 而是一致收敛的概念.
(1) 易见对0 ≤ x < 1, fn(x)逐点收敛到0, 但x = 1时, fn(x)收敛到1/2.
由连续函数列的一致收敛极限仍连续, fn(x)不可能为一致收敛.
(2) 由均值不等式, |an(x)| ≤ |nx|/(n^(5/2)|x|) = 1/n^(3/2), 对任意实数x成立.
由∑1/n^(3/2)收敛, 根据Weierstrass判别法, ∑an(x)在全体实数上(绝对)一致收敛.
(3) 部分和∑{0 ≤ k ≤ n} x^k·(1-x) = ∑{0 ≤ k ≤ n} x^k-∑{0 ≤ k ≤ n} x^(k+1)
= ∑{0 ≤ k ≤ n} x^k-∑{1 ≤ k ≤ n+1} x^k = 1-x^(n+1).
对0 ≤ x < 1收敛到1, 而对x = 1收敛到0, 极限函数不连续.
理由同(1), 级数不一致收敛.

为免误解强调一下, 连续函数列一致收敛是极限函数连续的充分非必要条件.
即由极限函数连续不能反过来得到函数列一致收敛.

个人感觉楼主对一致收敛的概念还比较陌生, 也许难以理解上面的证明过程.
建议再好好看看教材, 看几个不一致收敛的例子, 掌握一致收敛的性质和几个基本的判别法.
再回来看这几道题就很容易了.