请问 已知函数定义域为R 关于x的方程 f(x-1)+f(1-x)=0 是什么样的函数 轴对称 还是中心对称？ 谢谢

Question

原题 ：已知函数定义域为R 关于x的方程 f(x-1)+f(1-x)=0共有3个不同的实根x1,x2,x3. 则x1+x2+x3= ()
A 0 B 2 C 3 D4
答案选C 为什么

Answer 1

方程f(x-1)+f(1-x)=0
令F(X)=f(x-1)+f(1-x)
F(1+x)=f(1+x-1)+f[1-(1+x)]=f(x)+f(-x)
F(1-x)=f(1-x-1)+f[1-(1-x)]=f(-x)+f(x)
F(1+X)=F(1-X)
F(X)=f(x-1)+f(1-x)的图像关于x=1轴对称
方程f(x-1)+f(1-x)=0三根中一根为1，另外两根平均为1，x1+x2+x3= 3追问

原题 ：已知函数定义域为R 关于x的方程 f(x-1)+f(1-x)=0共有3个不同的实根x1,x2,x3. 则x1+x2+x3= ()
A 0 B 2 C 3 D4
答案选C 为什么

追答

原来把整个方程当做函数了，答的不对，现把方程左边看做函数，已重答，是对的。
方程f(x-1)+f(1-x)=0
令F(X)=f(x-1)+f(1-x)
F(1+x)=f(1+x-1)+f[1-(1+x)]=f(x)+f(-x)
F(1-x)=f(1-x-1)+f[1-(1-x)]=f(-x)+f(x)
F(1+X)=F(1-X)
F(X)=f(x-1)+f(1-x)的图像关于x=1轴对称
方程f(x-1)+f(1-x)=0三根中一根为1，另外两根平均为1，x1+x2+x3= 3

追问

什么时候把整个方程当做函数 ，什么时候用现在这种方法？

　　谢谢

追答

如果将题目改成函数f(x)满足f(x-1)+f(1-x)=0 ，则f(x)关于什么对称？

那就是可换元x-1=t,得f(x)满足f(t)+f(-t)=0 是奇函数 关于原点对称.

Answer 2

用x+1代替x可得f（x+1-1）+飞（1-x-1）=0 即f（x）+f（-x）=0
所以是奇函数 关于（0,0）对称追问

原题 ：已知函数定义域为R 关于x的方程 f(x-1)+f(1-x)=0共有3个不同的实根x1,x2,x3. 则x1+x2+x3= ()
A 0 B 2 C 3 D4
答案选C 为什么