（1）证明：设X1，X2属于定义域[m,n],且X1<X2，则
由F(x)=(x/m-1)2+(n/x-1)2得
F(x1)=(X1/m-1)2+(n/X1-1)2，
F(x2)=(X2/m-1)2+(n/X2-1)2
F(x1)- F(x2)=？
你自己算一下如果是X1<X2,且F(X1)<F(X2) ,则是在定义域内单调递增的，反之单调递减。
判断单调性的基本步骤就是在其定义域内假设两个值x1,x2且x1<x2。若存在f(x1)<f(x2),则函数单调递增；反之则单调递减。
f(x1)=(x1/m-1)^2+(n/x1-1)^2
f(x2)=(x2/m-1)^2+(n/x2-1)^2
则f(x2)-f(x1)=(x2/m-1)^2+(n/x2-1)^2-(x1/m-1)^2-(n/x1-1)^2
=(x2/m-1+x1/m-1)(x2/m-1-x1/m+1)+(n/x2-1+n/x1-1)(n/x2-1-n/x1+1)
={[(x1+x2)-2m]/m}[(x2-x1)/m]+{[n(x1+x2)-2x1x2]/x1x2}[n(x1-x2)/x1x2] （1）
1)1≤m≤x1<x2≤n≤2则x1+x2>2m,x2-x1>0,x1-x2<0,n(x1+x2)>2nx1,x1x2>0
则（1）可变形为f(x2)-f(x1)>[(2m-2m)/m][(x2-x1)/m]+[(2nx1-2x1x2)/x1x2][n(x1-x2)/x1x2]
原来有些地方想错了，呵呵
由已知可知x/m-1≥0,n/x-1≥0,而原函数始终大于0
那么就有f(m)=(m/m-1)^2+(n/m-1)^2=(n/m-1)^2
f(n)=(n/m-1)^2+(n/n-1)^2=(n/m-1)^2
则f(m)=f(n)这两种情形是因式x/m-1，n/x-1其中一个为0的情形。若x/m-1>0且n/x-1>0则有
f(x)=(x/m-1)^2+(n/x-1)^2≥2(x/m-1)(n/x-1)(当且仅当x/m-1=n/x-1即x=√mn时等号成立）
则f(√mn)=2(√mn/m-1)^2
经比较f(m)=f(n)>f(√mn)(这个关系自己算吧这里不写了比较长）
可得一个结论原函数的图像关于x=√mn轴对称当x=√mn原函数的值最小
则只需考虑一个区间[m,√mn]或[√mn,n]就够了
原函数可变形为f(x)=[(x/m-1)-(n/x-1)]^2+2(x/m-1)(n/x-1)
=(x/m-n/x)^2+2[(n/m+1)- (x/m+n/x)]
=(x/m-n/x)^2-2(x/m+n/x)+2(n/m+1)
设x1，x2属于[m,√mn]且x1>x2则有
f(x1)=(x1/m-n/x1)^2-2(x1/m+n/x1)+2(n/m+1)
f(x2)=(x2/m-n/x2)^2-2(x2/m+n/x2)+2(n/m+1)
则f(x1)-f(x2)=[(x1/m-n/x1)^2-2(x1/m+n/x1)+2(n/m+1)]-[(x2/m-n/x2)^2-2(x2/m+n/x2)+2(n/m+1)]
=[(x1/m-n/x1)^2-(x2/m-n/x2)^2]+2(x2/m+n/x2-x1/m-n/x1)]
=(x1/m-n/x1-x2/m+n/x2)(x1/m-n/x1+x2/m-n/x2)+2[(x2-x1)/m+n(x1-x2)/x1x2]
=[(x1-x2)/m+n(x1-x2)/x1x2][(x1+x2)/m-n(x1+x2)/x1x2]+2(x1-x2)(n/x1x2-1/m)
=(x1-x2)(1/m+n/x1x2)(x1+x2)(1/m-n/x1x2)+2(x1-x2)(n/x1x2-1/m)
=(x1-x2)(n/x1x2-1/m)[2-(x1+x2)(1/m+n/x1x2)]
=(x1-x2)[(mn-x1x2)/mx1x2][2-(x1+x2)(1/m+n/x1x2)] (1)
由假设与已知可得x1-x2>0,1≤m^2<x1x2<mn,x1+x2>2m≥2
则(x1-x2)[(mn-x1x2)/mx1x2]>0,(x1+x2)(1/m+n/x1x2)>2(1/m+1/m)=2
那么（1）<0即f(x1)<f(x2)
则原函数在区间[m,√mn]内单调递减
同理原函数在区间[√mn,n]内单调递增
有第一问的铺垫第二问就比较简单解法类似
（2） 证明：同理，得出
|f（x1）-f(x2)|=|（X1/m-1)2+(n/X1-1)-(X2/m-1)2-(n/X2-1)2|=
自己算出来把定义域的那个取值范围代进去就可以证明了！
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