关于一个高数问题

Question

谢谢浏览。 弧长公式为弧度*半径，设阿基米德螺旋线为ρ=aθ，对长度积分就为∫aθdθ在0到2π的定积分，错在哪里？
不胜感激！

Answer 1

半径是会变的，所以弧长公式
ds=(ρ^2+ρ'^2)^(1/2)dθ
这样积分就对了
积分方法为：
令x=tan(t),t∈(-pi/2,pi/2),则根号(1+x^2)=sec(t),
∫根号(1+x^2)dx
=∫sec(t)d(tan(t))-----(令此积分为I)
=tan(t)sec(t)-∫tan(t)d(sec(t))
=tan(t)sec(t)-∫tan(t)^2.sec(t)dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)[sec(t)^2-1]dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+∫sec(t)dt
=tan(t)sec(t)-∫sec(t)d(tan(t))+ln[sec(t)+tan(t)]
=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]-I

所以2I=tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]+C
I={tan(t)sec(t)+ln[sec(t)+tan(t)]}/2+C
={x根号(1+x^2)+ln[根号(1+x^2)+x]}/2+C
不定积分I即为所求原函数.追问

谢谢！

Answer 2

半径不是一个定值。详细的话你看看这个帖子就明白了http://tieba.baidu.com/p/2224909573追问

感激！

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Answer 3

································不懂