线性代数问题

Question

n维向量方程组ax﹦b总有解，说明a所代表的n维向量可以任意表示吗

Answer 1

同学你好，按照你的问题，我估计矩阵A是方阵？ 那么，确实能够说明A的列向量或者行向量可以表示对应空间中任意的一组向量。
最一般的做法，是将A按列展开，有，
Ax = b
等价于
（a_1,a_2,...,a_n）(x_1,x_2,...,x_n)^T = b
其中,a_i表示的是矩阵 A的第i列，那么写开来，有
x_1*a_1 + x_2*a_2 + ...x_n*a_n = b
有上述等式可以看到，该线性方程组等价于寻找一组系数使得b可以被A的诸列向量线性表示。既然对于任意的b有解，那么自然A的诸列向量可以任意线性表示空间中的元素。

不过由于A是方阵，所以也可以利用克莱姆法则，因为线性方程组恒有解，所以A必须满秩，否则恒可以找到一个b使得增广矩阵的秩大于A（其实只需要取b向量使得它不能被A线性表示即可）。由于A满秩，所以A的行向量和列向量都构成了n维向量空间的一组基，自然可以任意表示。（其实这个结论在说明A满秩的时候已经可以看到了）

Answer 2

充分必要条件是A是满秩矩阵
充分性：这是显然的，x=A^-1b就是方程的解
必要性：由于b是任意Rn向量，所以A的列向量Aj(1<=j<=n)空间（列空间）就是Rn，因此R(A)>=n,同时Aj只有n个元，所以R(A)=R(Aj)<=n,因此R(A)=n
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