退位进位加法和减法的算式如下：
1、退位加法：12+5=17，18+7=25，23+9=32
2、进位加法：18+6=24，27+8=35，39+7=46
3、退位减法：23-7=16，31-8=23，45-9=36
4、进位减法：32-17=15，41-28=13，53-39=14
退位进位加法和减法是数学中的基本运算，它们的算式可以表示为：
退位加法：
当两个数的和大于10时，就要向前进位，这个过程称为退位。例如：
12+3=15，其中2+3=5，但由于10进制中最大的数字是9，因此需要向前进位，将5变成10-1=9，最终得到结果15。
进位加法：
当两个数的和大于9时，就要向前进位，这个过程称为进位。例如：
9+7=16，其中9+7=16，但由于10进制中最大的数字是9，因此需要向前进位，将6变成10-4=6，最终得到结果16。
减法：
减法的算式可以表示为：被减数-减数=差。例如：15-7=8，其中15-7=8。
需要注意的是，在进行减法运算时，如果被减数比减数小，那么结果为负数，并且需要在数字前加上负号。例如：9-12=-3，其中9-12=-3。
退位进位加法和减法的算式是在人类长期的数学实践中逐渐发展起来的。
在古代，人们使用手动计算器如算盘进行加减法运算。随着时间的推移，人们开始使用纸和笔进行计算，并逐渐发展出了现代的竖式加减法。
竖式加减法的算式结构是基于进位和退位的概念。在进行加法运算时，如果两个数的和大于9，就需要向前进位；在进行减法运算时，如果被减数比减数小，就需要向后退位。这些进位和退位的规则保证了计算的准确性和可靠性。
现代电子计算器和计算机的出现使得加减法的计算变得更加快捷和方便，但竖式加减法的算式结构仍然是数学教育中的重要内容，因为它们能够帮助学生理解数学的基本概念和原理，提高计算能力和思维能力。