昨天晚上被老婆叫去睡觉了,没来得及写~~(>_<)~~
首先 把f(x),f(ln(1+x))在x=0处展开成带
拉格朗日余项的泰勒展开
f(x)=f(0)+f'(ξ1)x 1)
f(ln(1+x))=f(0)+f'(ξ2)(ln(1+x))
因为ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)
f(ln(1+x))=f(0)+f'(ξ2)(x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)) 2)
将上面2式代入原式,化简过程中注意到 ξ1,ξ2∈(0,x) lim(x->0)f'(ξ1)=f'(ξ2)=f'(x) 则
原式=lim(x->0)1/2f'(x)/x - lim(x->0)1/3f'(x)
=lim(x->0)1/2[f'(x)-f'(0)]/x - 1/3 f'(0) (导数定义+函数连续定义)
=1/2f''(0)+0
=1/2f''(0)
虽然上面“证明”出来了,不过我还是要说题目错了
算出了反例y=x^2+x就不满足题目要求
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