考研为什么要求矩阵秩为1？

Question

如题所述

Answer 1

原因如下：

一个非零n阶矩阵，若其秩为1，则其只有一个基向量，无论x取何值，y必与其基向量共线。

当x取值与基向量共线时，y与x共线，按定义，该基向量所在方向为矩阵的一个特征方向，所有在该线上的向量都是 特征向量组，且有特征值λ=y/x。 

一个秩1的矩阵最多有一个特征方向，而一个 特征方向上只有一个特征值。

在考研数学线性代数中，秩为1的矩阵具有特殊意义，往年常考察其相关知识点。

其一是秩为 1 矩阵的特征值，特征值的计算是一个基本考点，其计算方法很多，包括：根据特征值的定义进行计算、由特征方程计算、利用特征值的各种性质进行计算，这些方法都是求特征值的基本方法。

同学们需要熟练掌握，但这些方法只是针对一般矩阵的普遍方法，而对于一些特殊矩阵，有时采用一些特殊的方法或技巧则可以更灵活、更有效地解决问题。

其二是秩为1矩阵是否能相似对角化，知道结论可以秒出结果。

其三是将秩为1矩阵拆为两列向量的乘积，在很多大题中常会用到。