高数二阶非其次线性微分方程

Question

这如何解

Answer 1

特征方程为r²+4=0,得：r=2i,-2i
齐次方程通解为y1=C1sin2x+C2cos2x

设特解y*=ax+b+x(csin2x+dcos2x)
则y*'=a+csin2x+dcos2x+x(2ccos2x-2dsin2x)
y*"=4ccos2x-4dsin2x+x(-4csin2x-4dcos2x)

代入方程：4ccos2x-4dsin2x+4ax+4b=x+sin2x
比较系数：4c=0, -4d=1, 4a=1, 4b=0
得：a=0.25, b=0, c=0, d=-0.25
所以y=y1+y*=C1sin2x+C2cos2x+0.25x-0.25cos2x

代入y(0)=0=C2-0.25, 得：C2=0.25
y'=2C1cos2x-2C2sin2x+0.25+0.5sin2x
y'(0)=1=2C1+0.25,得：C1=0.375
所以原方程的解为：
y=0.375sin2x+0.25x