求助，曲线积分题详细讲解

Question

因为没学过曲线积分，找到的资料也有限

所以以一道例题来做示范吧，请前辈详细讲解（请务必要详细），感谢!
再比如这个题，一楼答得就不适用了吧？

请不要单纯的讲这一个题，写写答案就完事了。

我需要详细讲解，每一步怎么来的。

会追分的，感谢!

Answer 1

曲线积分是计算曲线长度(1维),
(1)
曲线积分I=∫(L)(x^2-y^2)dx, L是y=x^2, y^2=x^4, x从0至 2
I=∫(0,2)(x^2-x^4)dx (x的2端点的值=0,2; y已经被改写为x^2，所以不需要担心y的2端点的值)
=[x^3/3 -x^5/5] (x=0,2)

=(8/3-0)-(32/5-0) (∵x^3=2^3=8, x^5=2^5=32)
=(40-96)/15=-56/15
(2)

L首先分为2部分,(0,0)至(1,0);(1,0)至(1,1)
首部分积分
∫(0,0) xdy-∫(0,1)(x^2-y^2)ydx

=0-∫(0,1)(x^2-0^2)*0dx (首项积分原始点=最终点,∴首项积分=0; 在第二项积分中y=0)
=0
第二部分积分
∫(0,1) xdy-∫(1,1)(x^2-y^2)ydx

=∫(0,1) dy -0 (在首项积分中x=1, 在第二项积分中,原始点=最终点,∴第二项积分=0)
=1-0=1
对L的总积分=首部分积分+第二部分积分=1追问

亲你再帮我看一道曲线积分的题吧，我很抱歉....不是故意的啊，明明是你答得比价好一些
http://口zhidao.baidu.com/口question/553398778.html

追答

我也回答你的新问题:)

Answer 2

积分就是求和
第一题是沿着曲线
对一个标量求和
(积分L)(x^2-y^2)dx
=(积分L)(x^2-x^4)dx
=(积分0到2)(x^2-x^4)dx
=-(1/5)x^5+(1/3)x^3 (x=2带入 减去 x=0带入)
=8/3-32/5
=-56/15

第2题是沿着曲线
对一个向量求和。
因为你的题不是闭合曲线，所以用不到高斯散度定理。
你这道题分2段做，然后结果加起来。

积分L: Pdx+Qdy就是对一个平面上的一个变力(P,Q)沿着曲线L，加起来，就是做功。
(0,0)->(1,0) (yy-xx)ydx+xdy 这一段y一直是0，(yy-xx)y=0，在y方向上也没有位移，力不做功，功是0。
(1,0)->(1,1) (yy-1)ydx+1dy 这一段x一直是1，x方向力没有位移，x方向没有功，y方向力是1，位移是1，所以功是1。
总共就是1。

Answer 3

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