离散数学 求解 关于gcd

Question

真的不会啊 希望谁能讲下

Answer 1

(i)根据gcd的性质，可知
必然存在整数s、t满足
sa+tb=gcd(a,b)（高等代数书上有）
而根据L的定义，立即得知gcd(a,b)∈L

而gcd(a,b)>0（因为a、b都大于0），根据L+的定义
得知gcd(a,b)∈L+

(ii)设任意L中的数z=ma+nb（m、n是整数）
显然有，gcd(a,b)|a，gcd(a,b)|b
从而gcd(a,b)|ma，gcd(a,b)|nb
则gcd(a,b)|ma+nb
即gcd(a,b)|z

(iii)反证法。假设L+中有一个数x<gcd(a,b)，显然x也属于L
从而根据(ii)，gcd(a,b)|x
而根据整除的定义，当x<gcd(a,b)且满足整除关系时，显然只有一种情况：x=0
这与x属于集合L+矛盾，所以假设不成立，原命题得证。