正交矩阵的特征值是不是一定不等于零？

Question

如题所述

Answer 1

是。一定等于1或-1。

证明如下：

设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量，即有 Ax = λx,且 x≠0。两边取转置，得 x^TA^T = λx^T 所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx，因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E，所以 x^Tx = λ^2x^Tx，由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数，故 λ^2=1，所以 λ=1或-1。

如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件 :

1、AT的各行是单位向量且两两正交

2、AT的各列是单位向量且两两正交

3、(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R

4、|A|=1或-1

5、正交矩阵通常用字母Q表示。

扩展资料：

正交矩阵的相关定理

1、在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

2、方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；

3、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；

4、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

5、A的列向量组也是正交单位向量组。

6、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

参考资料来源：百度百科-正交矩阵

Answer 2

一定等于1或-1。正交矩阵乘其转置为单位阵，所以它的行列式的平方等于1。所以正交矩阵的行列式等于1或-1。本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

显然正交阵可逆, 当然没有零特征值.追问

什么意思… 一定不会是零么

追答

一定不会

Answer 4

正交矩阵的特征值是±1,
正交矩阵a满足a'=a^(-1)
a'与a有相同的特征多项式，故特征值一样，设为λ1,λ2,λ3,
那么易知a^(-1)的特征值是1/λ1,1/λ2,1/λ3,
由于a'=a^(-1)，1/λ1=λ1,1/λ2=λ2,1/λ3=λ3,
得出λ1=±1,λ2=±1,λ3=±1,
(注意3个特征值不一定相等)