求有向图两个顶点间的最短路径的方法，用简单语言或举例描述。

Question

如题所述

Answer 1

在交通网络中，常常会提出许多这样的问题：两地之间是否有路相通？在有多条通路的情况下，哪一条最近？哪一条花费最少等。交通网络可以用带权图表示，图中顶点表示域镇，边表示两城之间的道路，边上权值可表示两城镇间的距离，交通费用或途中所需的时间等。
　　以上提出的问题就是带权图中求最短路径的问题，即求两个顶点间长度最短的路径。
　　最短路径问题的提法很多。在这里仅讨论单源最短路径问题：即已知有向图(带权)，我们希望找出从某个源点S∈V到G中其余各顶点的最短路径。
　　例如：下图(有向图G14)，假定以v1为源点，则其它各顶点的最短路径如下表所示：
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图 G14

　　从有向图可看出，顶点v1到v4的路径有3条：(v1,v2,v4)，(v1,v4)，(v1,v3,v2,v4 )，其路径长度分别为：15,20和10。因此v1到v4的最短路径为(v1,v3,v2,v4 )。
　　为了叙述方便，我们把路径上的开始点称为源点，路径的最后一个顶点为终点。
　　那么，如何求得给定有向图的单源最短路径呢？迪杰斯特拉(Dijkstra)提出按路径长度递增产生诸顶点的最短路径算法，称之为迪杰斯特拉算法。
　　迪杰斯特拉算法求最短路径的实现思想是：设有向图G=(V,E)，其中，V={1,2,…,n}，cost是表示G的邻接矩阵，cost[i][j] 表示有向边<i,j>的权。若不存在有向边<i,j>，则cost[i][j]的权为无穷大(这里取值为32767)。设S是一个集合，其中的每个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点的最短距离已经求出。设顶点v1为源点，集合S的初态只包含顶点v1。数组dist记录从源点到其他各顶点当前的最短距离，其初值为dist[i]=cost[v1][i]，i=2,…,n。从S之外的顶点集合V-S 中选出一个顶点w，使dist[w]的值最小。于是从源点到达w只通过S 中的顶点，把w加入集合S中调整dist中记录的从源点到V-S中每个顶点v的距离：从原来的dist[v] 和dist[w]+cost[w][v]中选择较小的值作为新的dist[v]。重复上述过程，直到S中包含V中其余顶点的最短路径。
　　最终结果是：S记录了从源点到该顶点存在最短路径的顶点集合，数组dist记录了从源点到 V中其余各顶点之间的最短路径，path是最短路径的路径数组，其中path[i] 表示从源点到顶点i之间的最短路径的前驱顶点。

Answer 2

图论，数据结构教材中有