求曲线x^2+y^2=3ax与x^2+y^2=根号3 ay所围成的面积 高数题 定积分的应用 用极坐标方程解。图形是什么样的

Question

如题所述

Answer 1

令x = rcosθ、y = rsinθ

x² + y² = 3ax

→ r² = 3a·rcosθ

→ r = 3acosθ

x² + y² = √3ay

→ r² = √3a·rsinθ

→ r = √3asinθ

所以在极坐标下求由r = 3acosθ和r = √3asinθ的公共面积。

在0 ≤ θ ≤ 2π里解{r = 3acosθ、r = √3asinθ

3acosθ = √3asinθ

√3 = tanθ

θ = π/3 or θ = 4π/3、当θ = 4π/3时r = √3·a·(- √3/2) = - 3a/2 < 0、所以舍去

0→π/3的面积属于r = √3asinθ的部分

π/3→π/2的面积属于r = 3acosθ的部分

所以根据∫(α→β) (1/2)r²(θ) dθ

公共部分的面积

= ∫(0→π/3) (1/2)(√3asinθ)² dθ + ∫(π/3→π/2) (1/2)(3acosθ)² dθ

= (- 1/16)(3√3 - 4π)a² + (3/16)(2π - 3√3)a²

= (a²/8)(5π - 6√3)

图形如下。

红色部分就是0→π/3，r = √3asinθ围成的面积

蓝色部分就是π/3→π/2，r = 3acosθ围成的面积、图中我代入了a = 2以便作图

公共面积就是这两个部分加起来的。两圆的交点就是(0，0)、(π/3，3a/2)