怎么把一个向量组中所有极大线性无关组求出来?

Question

非零行中非零元素所在的列都可构成线性无关组，但是这样只能看出一个最大线性无关组，如果还有怎么办？
但是如果题目问还有一个，我怎么看出来？

Answer 1

对于同一个向量组，它的任意两个极大线性无关组都是等价的，所以求出来一个就可以了。

极大线性无关组（maximal linearly independent system）是线性空间的基对向量集的推广。

在变换到阶梯矩阵之后，每一行第一个非零元素所在列对应的向量组合起来就是极大线性无关组。

极大线性无关组一般都不是只有1个，只要向量组自身不是极大线性无关组，那么就一定有2个或以上的极大线性无关组，但是一般习惯于用数字小的向量，比如会选择X1、X2、X3，而不会选择X1、X2、X4。

扩展资料：

极大线性无关组是线性空间的基对向量集的推广。

设V是域P上的线性空间，S是V的子集。若S的一部分向量线性无关，但在这部分向量中，加上S的任一向量后都线性相关，则称这部分向量是S的一个极大线性无关组。

在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。

它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的只有大小，没有方向的量叫做数量（物理学中称标量）。

参考资料：极大线性无关组-百度百科

Answer 2

在变换到阶梯矩阵之后，每一行第一个非零元素所在列对应的向量组合起来就是极大线性无关组。
极大线性无关组一般都不是只有1个，只要向量组自身不是极大线性无关组，那么就一定有2个或以上的极大线性无关组，但是一般习惯于用数字小的向量，比如会选择X1、X2、X3，而不会选择X1、X2、X4。
在找到一个极大线性无关组之后，组外的向量可以用这个极大线性无关组来表示，那么同样，这个极大线性无关组里的一个向量也可以用极大线性无关组里的其他向量和一个组外的向量来表示，这样就找到了另一个极大线性无关组。以我之前回答的一个极大线性无关组的问题为例。
1 -1 2 -2 1 1 -1 2 -2 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0
2 -1 3 -2 1 → 0 1 -1 2 -1 → 0 1 -1 2 -1 → 0 1 -1 2 -1
3 -2 5 -1 3 0 1 -1 5 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3 1
4 -2 6 -1 3 0 2 -2 7 -1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0
所以极大线性无关组是X1、X2、X4，X3=X1-X2，X5=-5/3X2+1/3X4。
从最后的阶梯矩阵看，第二行可以不选第一个数1对应的向量，可以选-1对应的向量，那么极大线性无关组就是X1、X3、X4，X2=X1-X3，X5=5/3X1-5/3X3+1/3X4。
也可以第三行不选3对应的向量，选1对应的向量，那么极大线性无关组就是X1、X2、X5，X2=X1-X3，X4=5X2+3X5。
总之，阶梯矩阵阶梯上的数对应的向量都可以选，注意一定是阶梯上，这些数一定下面是0或者已经是矩阵最下面一行。每级阶梯上选出一个数，它们对应的向量就可以组成一个极大线性无关组。本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

矩阵初等行变换化成行阶梯矩阵

把所有阶梯上的所在列向量取 （秩的个数个）

然后重新组成一个矩阵，重新画一画阶梯，看看阶梯数是否依旧等于秩的个数

是的话，这些个向量组就是一个极大无关线性组，否则就不是啦~

（当然有些新矩阵可以重新再行变换一下，就又是秩等于原矩阵的秩了，所以也是的）

所以直接取行阶梯矩阵每行第一个非0所在列所组成的新矩阵，阶梯数一定等于新矩阵的秩的个数，就一定是原矩阵的一个极大线性无关组。

举个例子⑧

例子，红色x是叉叉哈

Answer 4

对于同一个向量组，它的任意两个极大线性无关组都是等价的，所以求出来一个就可以了。

Answer 5