4个高中数学问题给50分！
1、设定义域为R的函数f(x)={|lg x| (x>0) ; -x²-2x (x≤0)}，若关于x的函数y=2f(x)²+2bf(x)+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是__________________。
2、已知函数f(x)=(ax+3)/(x²+1).
(1)若函数f(x)的值域为[-1,4]，求实数a的值。
(2)若函数f(x)对于定义域内的任意x值，都有f(x)∈[-1,4]，求实数a的取值范围。
主要问题在于不懂(1)和(2)问问的有什么区别！
3、设集合Pn={1,2,•••,n}，n∈N*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：
①A∈Pn. ②若x∈A,则2x∉A. ③若x∈CpA,则2x∉CpA.
求f(n)的解析式。
4、已知函数y=|x²-1|/(x-1) 的图像与函数y=kx-2的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是_____________________.
我令kx-2=|x²-1|/(x-1) ,再两边平方，得一个关于x的二次函数，再根据有两个交点得Δ>0解得k≠-4，但是不对啊，不知道哪里有错？
1.
解：
f(x) = |lgx| , x>0
-x²-2x, x≤0
即：
f(x) = |lgx| x>0
-(x+1)²+1 x≤0
y=2f²(x)+2bf(x)+1=0时，
f(x)=[-b±√(b²-2)]/2..........................(1)
因此：若要f(x)有不同零点x，首要是：
b²-2 > 0...................(2)
根据题意，这8个零点只能存在于(1)的方程中，由原函数可知：
f(x)<0时有两个根，f(x)=0时有3个根，f(x)>0时有4个根，综合，因为当前有关于f(x)的两个方程，只能是：
f(x)>0
∴[-b±√(b²-1)]/2 > 0................(3)
又因为，当x≤0时，f(x)最大值为1，因此：
[-b±√(b²-1)]/2 < 1................(4)
联立(2)、（3）、（4）得：
-3/2 < b < -√2
2.
解：
y=f(x)=(ax+3)/(x²+1)，易知
x≠±1
则：
yx²+y=ax+3
yx²-ax+y-3=0
该函数有意义，x有意义，关于x的等式中：
△=a²-4y(y-3)≥0，该不等式中y的解集为：[-1,4]
即：y²-3y-a²/4 ≤0的解集为[-1,4]
而-1≤y≤4和(y+1)(y-4)≤0等价
因此：y²-3y-4≤0
(1)
比较两个等价不等式，可得：
a²/4 = 4，
a=±4；
(2)
若要对于x≠±1都成立时，
a²/4 ≤ 4
a∈[-4,4]
另：（1）和（2）问本质是一样的
3
解：
根据题意：
Pn={1,2,•••,n},n∈N*
令n=4时，Pn={1,2,3,4}
设1∈A，则2∉A，2∈CPnA，则4∉CPA，则4∈Pn
A={1,3,4}或者A={1,4}
当1∉A时，1∈CpnA，2∈A，4∈CpA，则：
A={2,3}或者{2}
从上述可以看出，这种情况从概率学出发是对等的，当x是偶数时，必是偶数个数n/2不属于A，当x是奇数时，必是（n+1）/2个数不属于A，因此，在n个Pn={1.....n}中，满足条件的最大的数位：n/2(n是偶数)，(1+n)/2(n是奇数)；
根据集合里有n的元素，则这个集合有2^n个子集，可知：
f(n)=2^(n/2) (n是偶数)
2^[(1+n)/2]
4.
解：
根据题意：
y= x+1 |x|>1
-(x+1) |x|<1
0 x=-1
本题是分段函数，你用的方式平方后扩大了定义域，因此不行，最好的办法还是画个草图，求出交点，如下图（不是我画的）：
k∈（0,1）U（1,4）
注意，k不能平行y=x+1
第1题还是不懂。
“根据题意，这8个零点只能存在于(1)的方程中，由原函数可知：……”再往下就晕了……
还有第三题，“必是偶数个数n/2不属于A”是什么意思啊？
第二题，我有些不明白为什么第一问解出来两个数而第二问时区间……（好像很傻……）
第四个懂了，先谢谢！
Δ= 4b^2-8 >0, 得到 b<-√2 或者b>√2 (1)
z1+z2= -b/2 >0 得到 b<0 (2)
z1= [ -2b- (4b^2-8 )^0.5] /4 是两个根中最小的，
且当b<0时 一定是大于零的，只需要求解z1<1 即可
[ -2b- (4b^2-8 )^0.5] /4= [ -b- (b^2-2 )^0.5] /2<1
-b- (b^2-2 )^0.5 < 2 即 - (b^2-2 )^0.5<2+b
（a） 当 b 在-2〈b< -√2 时，上式一定满足；
（ b） 当b〈-2 时，解得只要b〈-3/2时就可以满足，所以b〈-2也满足条件
结合情况（a）和（b），得到 b〈-√2 。 （3）
z2= [ -2b+ (4b^2-8 )^0.5] /4 是两个根中最大的
且当b<0时 一定是大于零的，只需要求解z2<1 即可
[ -2b+(4b^2-8 )^0.5] /4= [ -b+ (b^2-2 )^0.5] /2<1
-b + (b^2-2 )^0.5 < 2 即 (b^2-2 )^0.5<2+b
（c） 当 b 在-2〈b< -√2 时， 解得 b>-3/2；
（ d） 当b〈-2 时，无解
结合情况（c）和（d），得到 b>-3/2 。 （4）
结合(1),(2),（3）和（4）得到
b的取值范围是 （-3/2，-√2）
第2题两个问题没有本质区别；
第3题，把题目写清楚一些，首先集合之间不能用属于符号，只能用包含符号，其次C是什么意思？
第4题，这个题最好作图求解，解得 k的取值范围是（4，1）和（1，0）追问
但是打不出包含符号啊，C就是补集嘛！（也打不出）
2、由于f(x)的定义域是R,因此(1)(2)没有区别。-x2-4≤ax≤ 4x2+1, a≤inf{(4x2+1)/x}=4, a≥sup{-(x2+4)/x| x>0}= -4, a≤inf{-(x2+4)/x | x<0}= 4, 故 -4 ≤ a≤ 4,
3、分划Pn, 可以看出 f(1)=2, f(2)=2, f(3)=4, f(4)=2, f(5)=8, f(6)=8, f(7)=16. 例如：
n=1, {}—{1},共2个
n=2, {1}—{2},共2个
n=3, {1,3}—{2}, {1}--{2,3},共4个
n=4: {1,3,4}—{2}, {1,4}--{2,3},共4个
n=5: {1,3,4,5}—{2}; {1,3,4}—{2,5}; {1,4, 5}—{2,3}, {1,4}—{2,3,5}, 共8个
n=6: {1,3,4,5}—{2,6}; {1,3,4}—{2,5,6}; {1,4, 5,6}—{2,3}, {1,4,6}—{2,3,5}, 共8个
……
f(n+1)=f(n), 当n为偶数; f(n+1)=2f(n), 当n为奇数.
f(n)=2^[(n+1)/2].
4、你无意识中更改的y=|x²-1|/(x-1) 的定义。
y本来有两个分支，在x=1处间断。
x>1时y=x+1; x<1时y=-(x+1).
y=kx+2与该函数有2个交点的条件是0<k<1, 并且( -无穷≤k<-2 或 -1<k≤+无穷) ,
即0<k<1
再结合题中“方程2f2（x） 2bf（x） 1=0有8个不同实数解“，可以分解为形如关于k的方程2k2 2bk 1=0有两个不同的实数根k1、k2，
且k1和k2均为大于0，且小于或等于4的实数．
∴应有
△ =b2-4＞0
0＜
b
2
＜4
0-b×0 1＞0
16-4b 1≥0
，解得 2＜b≤
17
4
，