大一高数证明可导

Question

如题所述

Answer 1

由于利用积分上限函数求导不能求出0处的导数，所以导数的定义
f‘（0）=lim [f(x)-f(0)]/x=lim f(x)/x ,(因为f(0)=0),
x->0 x->0
利用微分中值定理，在区间（0，x）上一定存在一个数a，使f（x）=xcos1/a
所以f‘（0）=lim f(x)/x =limcos1/a,到这似乎又走入了死胡同，但是题目上还有一个变形没用到
x->0
首先利用分步积分将f（x）变形，这时会用到广义积分，然后再按照上面的过程用微分中值定理即可以求得0处的导数，应该是0.追问

“首先利用分步积分将f（x）变形，这时会用到广义积分，然后再按照上面的过程用微分中值定理即可以求得0处的导数，应该是0.”这里还是不太清楚，麻烦给详细一点点

追答

潦草之处还望包涵

Answer 2

因为cos(1/x)有界，所以f(0)=0。
f(x)=-x^2sin(1/x)+2∫<0，x>tsin(1/t)dt，lim<x->0>(f(x)/x)=lim(2∫<0，x>tsin(1/t)dt/x)
|∫<0，x>tsin(1/t)dt|≤∫<0，x>|tsin(1/t)|dt≦∫<0，x>tdt=x^2/2
f(x)是偶函数，所以左右极限时相同的，这样f'(0)=0