A为方阵，A^2=E，问A的特征值以及A能否对角化

Question

如题所述

Answer 1

证明如下：为不失一般性，补充条件A为n阶矩阵

因为 A^2=E 即 R（A^2）=n → R（A）=n

由已知条件 得 | A^2-E | =0 可知 A^2 的特征值 λ1=λ2=……=λn=±1

由于A^2=AA 且 R（A）=n
1 1
又 A^2~∧（对角矩阵）即 A^2 =AA~{ 1 } { 1 }
…… ……
1 1
由此可知A的特征值为±1 （这里只证明为1的情况-1和这个一样，加个负号就可以了）

下面证明A相似对角化的问题：

由题设知：A^2=E → AA=E → AAA^-1=EA^-1 → A=A^-1

由此：（A^TA）^-1 = (A^-1)( A^T )^-1= A( A^T )^-1=A( A^-1)^T=E

因此A可以相似对角化！

Answer 2

A的特征值为a
Ax=ax
A²x=a²x=Ex=x
a²-1=0
a=1或-1
A能对角化追问

能对角化的证明能给出吗

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