看似简单却又复杂的数学问题

Question

高中时同学问我一个数学问题：3分之1 = 1÷3 = 0.333...... ， 但是 0.333......× 3 等于 0.999...... ， 而3分之1 × 3却等于1，按数学理论，等式两边乘以同一个数，结果应该还相等。但是结果却不等，差了无限小的一点，请问是怎么回事？我不能解答，也没敢问老师，不知谁能回答这个问题？

Answer 1

循环小数的问题中，最著名的是0.999…是否等于1的问题[1]代数方法为：
证明:
假设X=0.999...
∵ 10X = 9.999... 0.999...
即 9x = 9
∴ x = 1
以上的推理过程都是比较严密的，并不是所谓0.3=1/3而0.9<1（这个才是最高级的证明，大家都要学会这种紧扣定义的证明方法，而不是这个看似严谨，其实缺乏严谨的证明）。在我们所使用的数学中， 0.9（9循环）=1。
还可以利用计算的数值的结果证明。但是需要微积分。故略。可以查看李长白数学网的有关文章。
以上方法严格讲都是有缺陷的,真正的方法如下:
依照循环小数定义:
如1/3 在进行除法运算的时候,
在用三除的时候余下的一位为1,这样继续进行下去的时候,根据归纳可知,这个小数后面会有无数个3,而且都 是三,所以1/3 = 0.3 3循环
然后我们看0.9 9循环
我们用1/1来进行计算,不同的是,我们不要一次将1除尽,我们直接退位进行计算
第一步就是得0.9余0.1,这个没有问题,也不违反任何运算规则,
通过这样的方式计算,可以得出1/1通过除法运算的时候可以表示为0.9 9循环
即0.9 9循环等于1
证毕
没有用到极限(根本和循环小数无关的),和循环小数运算法则!
只用了分数除法,和循环小数定义!追问

那书上是怎么规定的？0.999......=1 还是不等？

追答

一般都是以证明题存在的~

Answer 2

0.333.........后面的三越多，只能说无限接近1/3，而因为0.3...是无限的，它永远不可能等于1/3，而你用0.333...乘以3，在运算时是假设0.333...小数点后有限位，再从最后一位开始乘，所以得到的0.999....也是无限接近1，这就符合的等式的运算法则。

Answer 3

如你所说的，差了无限小的一点。
“无限小”是多少呢？是零。
所以，结果应该相等。

Answer 4

0.99999……＝1-10^(-n)[-n次方]，n趋向无穷

0.99999……＝Lim[1-10^(-n)]=1不知道你学过高数没，学过就能懂，没学过就想想0.999999.........后面无限多个九，你用一减它，得到0.000000000000000000000000000...........后面出现一实在无穷远，而且真实的一存在的位置是不可能有的，不然就会与无限的概念矛盾，所以其实两者相减就等于0

Answer 5

很简单 ，0.333......省略了很多的3,是无尽的，所以 等于 0.999......