自然数（natural number）
用以计量事物的件数或表示事物次序的数 。 即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数 。自然数由0开始 ， 一个接一个，组成一个无穷集合。自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论枣自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。
序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出自然数的如下定义。
自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。③ 1不是任何元素的后继者。④ 不同元素有不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M＝N。
基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数 。这样 ，所有单元素集｛x｝，｛y｝，｛a｝，｛b｝等具有同一基数 ， 记作1 。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等 。自然数的加法 、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
自然数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。
“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。目前，我国中小学教材将0归为自然数！详情请见
http://www.pep.com.cn/、
www.1088.com.cn 自然数是整数，但整数不全是自然数。
整数（Integer）
序列…，-2，-1，0，1，2，…
中的数称为整数．整数的全体构成整数集，它是一个环，记作Z（现代通常写成空心字母Z）．环Z的势是阿列夫0．
在整数系中,自然数为正整数,称0为零,称-1,-2,-3,…,-n,… 为负整数.正整数,零与负整数构成整数系.
正整数是从古代以来人类计数(counting)的工具.可以说,从「一头牛,两头牛」或是「五个人,六个人」抽象化成正整数的过程是相当自然的.事实上,我们有时候把正整数叫做自然数(the natural numbers).
零不仅表示「无」,更是表示空位的符号.中国古代用算筹计算数并进行运算时,空位不放算筹,虽无空 位记号,但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件.印度-阿拉伯命数法中的零(zero)来自印度的(sunya)字,其原意也是「空」或「空白」.
中国最早引进了负数.《九章算术.方程》中论述的「正负数」,就是整数的加减法.减法的需要也促进了负整数的引入.减法运算可看作求解方程a+x=b,如果a,b是自然数,则所给方程未必有自然数解.为了使它恒有解,就有必要把自然数系扩大为整数系.
正整数,零,和负整数合称整数(the integers).整数是人类能够掌握的最基本的数学工具.十九世纪德国伟大数学家 Kronecker因此说:「只有整数是上帝创造的,其他的都是人类自己制造的.」
一个给定的整数n可以是负数（n∈Z-），非负数（n∈Z*），零（n=0）或正数（n∈Z+）．
参见：代数数（Algebraic Integer）, 复数（Complex Number）, 可数数（Counting Number）, 自然数集 N, 自然数（Natural Number）, 负数（Negative）, 正数（Positive）, 实数（Real Number）, Z, Z-, Z+, Z*, 零（Zero）．
小数：
当测量物体时往往会得到不是整数的数,古人就发明了小数来补充整数 小数是十进分数的一种特殊表现形式。所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数。无理数为无限不循环小数。
根据十进制的位值原则，把十进分数仿照整数的写法写成不带分母的形式，这样的数叫做小数．小数中的圆点叫做小数点，它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号，小数点左边的部分是整数部分，小数点右边的部分是小数部分．整数部分是零的小数叫做纯小数，整数部分不是零的小数叫做带小数．例如0.3是纯小数，3.1是带小数．
同整数一样，小数的计数单位也按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做小数的。
数位．数位顺序如下表：
小数的读法有两种：一种是按照分数的读法来读．带小数的整数部分按整数读法读；小数部分按分数读法读．例如：0.38读作百分之三十八，14.56读作十四又百分之五十六．另一种读法，整数部分仍按整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字．例如：0.45读作零点四五；56.032读作五十六点零三二．
小数大小的比较方法与整数基本相同，即从高位起，依次把相同数位上的数加以比较．
因此，比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大；
因为小数是十进分数，所以有下列性质：①在小数的末尾添上零或去掉零，小数的大小
不变．例如；2.4＝2.400，0.060＝0.06．②小数点移动会引起小数大小发生变化．把小数点分别向右移动一位、二位、三位… 位，则小数的值分别扩大10倍、 100倍、 1000倍……
倍；如果把小数点分别向左移动一位、二位、三位… 位，则小数的值分别缩小10倍、 100倍、 1000倍… 倍．例如：把7.4扩大10倍是74，扩大100倍是740．把7.4缩小10倍是0.74，缩小100倍是0.074．
无限不循环小数只能用小数表示不能用分数表示，而所有的有限小数和无限循环小数均能用分数表示，小数分为有限小数和无限小数，有限小数如1/5，无限小数包括无限不循环小数（如0.010010001……）和无限循环小数（如1/3 ）
（有理数（rational number)：能精确地表示为两个整数之比的数．
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数．
整数和通常所说的分数都是有理数．有理数还可以划分为正有理数，0和负有理数．
在数的十进制小数表示系统中，有理数就是可表示为有限小数或无限循环小数的数．这一定义在其他进位制下（如二进制）也适用．《中国大百科全书》（数学） ）
因此，不矛盾。
小数的末尾添上"0"或者去掉"0"，小数的大小不变，这叫做小数的性质。
小数乘以整数：
把小数乘法转化成整数乘法计算。
先把小数扩大成整数，按照整数乘法去计算，因数扩大了多少倍，积就要缩小多少倍。
积的小数位数与被乘数的小数位数有关，被乘数有几位小数，积就有几位小数。因为要把小数乘法转化成整数乘法，被乘数扩大了多少倍，乘数不变，积也随着扩大了多少倍。因此必须再把积缩小多少倍。
计算小数乘以整数，先按照整数乘法的计算方法算出积，再看被乘数中有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字
叫做这个循环小数的循环节。例如：0.33 ……循环节是“3”
2.14242……循环节是“42”
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。（例如：
板书）
简便记法：写循环小数时，为了简便，小数的循环部分只写出
第一个循环节。如果循环节只有一个数字，就在这个数字上加一个圆点， 如果循环节有一个以上的数字，就在这个循环节的首位和末位的数字上各加一个圆点。
分数：
分数单位
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。表示这样的一份的数叫分数单位
定义
把单位"1"平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份,分子表示取了其中的几份。
1 →分子
—→分数线
2 →分母
分数中间的一条横线叫做分数线，分数线上面的数叫做分子，分数线下面的数叫做分母。
起源
分数在我们中国很早就有了,最初分数的表现形式跟现在不一样。后来,印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后,阿拉伯人发明了分数线,分数的表示法就成为现在这样了。
产生
人类历史上最早产生的数是自然数（正整数），以后在度量和均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。
分类
分数一般包括:真分数,假分数,带分数.
真分数小于1.
假分数大于1,或者等于1.
带分数大于1而又是最简分数.带分数是由一个整数和一个真分数组成的。
注意
①分母和分子中不能有0，否则无意义。
②分数中不能出现无理数（如2的平方根），否则就不是分数。
产生
人类历史上最早产生的数是自然数（正整数），以后在度量和均分时往往不能正好得到整数的结果，这样就产生了分数。
③判断一个分数是否能变成有限小数：一、先要看它是不是最简分数。二、如果分母是2或5的倍数（不含其他任何数），就能变成有限小数
历史
在历史上，分数几乎与自然数一样古老。早在人类文化发明的初期，由于进行测量和均分的需要，引入并使用了分数。
在许多民族的古代文献中都有关于分数的记载和各种不同的分数制度。早在公元前2100多年，古代巴比伦人（现处伊拉克一带）就使用了分母是60的分数。
公元前1850年左右的埃及算学文献中，也开始使用分数。
我国春秋时代（公元前770年～前476年）的《左传》中，规定了诸侯的都城大小：最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之一，小的不可超过九分之一。秦始皇时代的历法规定：一年的天数为三百六十五又四分之一。这说明：分数在我国很早就出现了，并且用于社会生产和生活。
百分数：
表示一个数是另一个数的百分之几的数．百分数也叫做百分率或百分比．百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“％”（叫做百分号）来表示．如 写为41％，1％就是 ．由于百分数的分母都是100，也就是都以1％作单位，便于比较，因此，百分数在工农业生产、科学技术、各种实验中有着十分广泛的应用．特别是在进行调查统计、分析比较时，经常要用到百分数．
百分数概念的形成应以学生实际生活中的事例或工农业生产中的事例引入．例如，一年级有学生100人，其中女同学有47人，女同学即占全年级人数的百分之四十七，写作47％．又如，二年级有学生200人，其中女同学有100人，女同学即占全年级人数的百分之五十（ ）．在这两个例子中，两个年级的人数都是“标准量”，而女同学的人数为“比较量”．在百分数应用题的教学中要抓住 ＝百分率（百分数）这一数量关系式进行分析．
百分数应用题有下列三种计算问题：①求一个数是另一个数的百分之几，例：求45是225的百分之几，即 ＝20％．②求一个数的百分之几是多少．例：求 2.2的 75％是多少．即 2.2×75％＝1.65．③已知一个数的百分之几是多少，求这个数．例：已知一个数的75％是165，求这个数．即165÷75％＝220
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
分数和百分数的区别：表示一个数是另一个数的百分之几的数．百分数也叫做百分率或百分比．百分数通常不写成分数的形式，而采用符号“％”（叫做百分号）来表示．
分数和百分数的联系：百分数和分数都是求一个数是另一个数几分之几或百分之几，也就是求倍数关系。
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