数列5,8,13,21,34,55,89……的规律是:从第三个数起,每个数恰好是前两个数的和,第2012个数被5除余数是几

Question

如题所述

Answer 1

菲波那契数列指的是这样一个数列：
1，1，2，3，5，8，13，21……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和
它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 【√5表示根号5】
本题中的第2012个数就是菲波那契数列中的第2016个数

个位数一次是：5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5,6,1,7,8,5,3,8,1,9,0,9,9,8,7,5,2,7,9,6,5,1,6,7,3,0,3,3,6,9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1,0,1,1,2,3,（注意下面又是）5,8,3,1,4，……
可以看出60个数一个循环
2012÷60=33……32
第32个数的各位数是2
所以第2012个数被5除余数是2.

Answer 2

An=An-1+An-2
= 2*An-2 + An-3
= 3*An-3 + 2*An-4
= 5*An-4 + 3*An-5
= 8*An-5 + 5*An-6
=13*An-6 + 8*An-7
=21*An-7 + 13*An-8
=34*An-8 + 21*An-9
=55*An-9 + 34*An-10
An + An-10 = 5(11*An-9 + 7*An-10) （右式能被5整除）
同理：An-10 + An-20 = 5(11*An-19 + 7*An-20)
上两式相减得:
同理：An-10 - An-20 = 5 (11*An-9 + 7*An-10 - 11*An-19 - 7*An-20) （右边能被5整除）

因此，这一数列的第n项与第n+10项之和，能被5整除；第n项与第n+20项除5的余数是相同的。
那么, A2012除5的余数，一定与A12除5的余数是相同的，且A12与A2之和，能被5整除。
A2=8，被5除余3
第2012个数被5除余数是2