如何证明A是反对称矩阵的充要条件是：A的二次型为零。
（目前还没学习二次型的知识，这是老师留的思考题，题目原来的表述并没有直接提到二次型，是我预习以后发现的）
有些符号不好输入
最好写出详细证明过程，拍照上传
或者说明原理
谢谢
充分性：因为A的二次型为零，即 x^TAx = 0，所以 x^TA^Tx = 0；x^T(A+A^T)x = 0；又因为A+A^T 也是对称矩阵，所以A+A^T=0，即 A^T = -A，所以：A 为反对称矩阵。
必要性：显然成立。
设A为n维方阵，若有A'=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。对于反对称矩阵，主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。反对称矩阵具有很多良好的性质，如若A为反对称矩阵，则A'，λA均为反对称矩阵；若A、B均为反对称矩阵，则A±B也为反对称矩阵；
设A为反对称矩阵，B为对称矩阵，则AB-BA为对称矩阵；奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。
扩展资料：
1、反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。
2、奇数阶反对称矩阵的行列式必为0。
3、设A、B为反对称矩阵，AB不一定是反对称矩阵。
4、设A为反对称矩阵，若A的阶数为奇数，则A的行列式为0；A的阶数为偶数，则根据具体情况计算。
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第1个回答 2021-10-03
简单计算一下即可，详情如图所示
第2个回答 2013-03-18
必要性显然.
充分性:
因为 x^TAx = 0
所以 x^TA^Tx = 0
所以 x^T(A+A^T)x = 0
由于 A+A^T 是对称矩阵
故 A+A^T=0
即 A^T = -A
即 A 为反对称矩阵.
充分性:
因为 x^TAx = 0
所以 x^TA^Tx = 0
所以 x^T(A+A^T)x = 0
由于 A+A^T 是对称矩阵
故 A+A^T=0
即 A^T = -A
即 A 为反对称矩阵.
第3个回答 2013-03-17
充分性我还得再想想
追问谢谢你啊~~希望也能证出充分性
如果我先想出来了会告诉你的
thank you~~
第4个回答 2017-11-03
楼上证明充分性很搞笑啊！你说A实对称矩阵然后说A等于O但是证明实对称矩阵的时候，用到啦，二次型等于0，其矩阵为反对称矩阵这个结论啊！就好比你证明a是好人，用到啦b是好人这个结论为条件，但是b是好人这个结论是由a是好人这个结论为条件证明的！传说中的先有蛋还是先有鸡的问题！
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