这变上限积分怎么做，这题，求解。有图。0的上面是X。就是0到X。这两小题，怎么做

Question

如题所述

Answer 1

利用定积分基本公式 (∫<l(x),h(x)>f(t)dt)'=f[h(x)]*h'(x)-f[l(x)]*l'(x)
和推论公式 (∫<l(x),h(x)>f(x)*g(t)dt)'=f(x)g[h(x)]*h'(x)-f(x)g[l(x)]*l'(x)+f'(x)∫<l(x),h(x)>g(t)dt
第（1）题：l(x)=0, h(x)=x，用上述两个公式对方程两边求导，可得
xf(x)+∫<0,x>f(t)dt-xf(x)=∫<0,x>f(t)dt=sinx
再次求导，可得 f(x)=cosx
∴∫<0,π/2>f(x)dx=∫<0,π/2>cosxdx
=<0,π/2>sinx=1
第（2）题：设u=x-t，则x=u+t，t=x-u，dt=-du
原方程变为 ∫<x,0>(x-u)f(u)*(-du)=∫<0,x>(x-u)f(u)du
=∫<0,x>xf(u)du-∫<0,x>uf(u)du=1-cosx
运用基本公式和推论公式，对两边分别求导（此时l(x)=0, h(x)=x），可得
xf(x)+∫<0,x>f(u)du-xf(x)=∫<0,x>f(u)du=sinx
再次求导，可得 f(x)=cosx
∴∫<0,π/2>f(x)dx=∫<0,π/2>cosxdx
=<0,π/2>sinx=1