请问，如何用二次方程思想来求函数y=(x^2-2x+6)/(x+1)，(x≥0)的最小值。

Question

均值不等式和导数的解法都知道，但书上又提到该函数的最小值也可以用二次方程的判别式来求。请问各位前辈高人们，该利用二次方程怎样求解？
谢谢~

Answer 1

均值不等式和导数的解法就不说了：
y=(x^2-2x+6)/(x+1)=((x-1)^2+5)/(x+1)，在x≥0时，函数值y是大于0的
而：x^2-2x+6=yx+y，即：x^2-(y+2)x+6-y=0，需判别式△≥0才有意义
即：(y+2)^2-4(6-y)=y^2+8y-20=(y-2)(y+10)≥0，即：y≥2或y≤-10(不合题意，舍去)
故：y≥2，即：y的最小值是2

Answer 2

就是去分母，化成关于x的方程：
x^2-(2+y)x+6-y=0， 依题意，该方程须有根x>=0.
首先delta>=0,即(2+y)^2-4(6-y)>=0, 解得：y>=2或y<=-10
y>=2时，方程的两根和=2+y>0,因此必有非负根，符合有x>=0的要求。
y<=-10时，方程的两根和=2+y<0, 两根积=6-y>0,因此两个都为负根，不符合有x>=0的要求
因此必有y>=2
即最小值为y=2. (此时x=2)