二重积分，如何判定一个被积函数是关于X的奇函数还是关于Y的奇函数？

Question

如题所述

Answer 1

要判定一个被积函数 f(x, y)f(x,y) 是关于 xx 或 yy 的奇函数，可以按以下步骤进行：

关于 xx 的奇函数：

检查是否 f(-x, y) = -f(x, y)f(−x,y)=−f(x,y) 对所有的 xx 和 yy 都成立。
如果成立，则 f(x, y)f(x,y) 是关于 xx 的奇函数。
关于 yy 的奇函数：

检查是否 f(x, -y) = -f(x, y)f(x,−y)=−f(x,y) 对所有的 xx 和 yy 都成立。
如果成立，则 f(x, y)f(x,y) 是关于 yy 的奇函数。
举例说明
假设 f(x, y) = x^3 \sin(y)f(x,y)=x
3
sin(y)：

检查关于 xx 的奇函数：

f(-x, y) = (-x)^3 \sin(y) = -x^3 \sin(y) = -f(x, y)
f(−x,y)=(−x)
3
sin(y)=−x
3
sin(y)=−f(x,y)
所以，f(x, y)f(x,y) 是关于 xx 的奇函数。

检查关于 yy 的奇函数：

f(x, -y) = x^3 \sin(-y) = -x^3 \sin(y) = -f(x, y)
f(x,−y)=x
3
sin(−y)=−x
3
sin(y)=−f(x,y)
所以，f(x, y)f(x,y) 也是关于 yy 的奇函数。

通过以上方法，可以判定被积函数是否是关于某个变量的奇函数。

Answer 2

判断一个被积函数是关于X的奇函数还是关于Y的奇函数，可以通过以下方法：
1如果被积函数f(x,y)关于x的奇偶性独立于y，即f(-x,y) = -f(x,y)或f(-x,y) = f(x,y)，那么f(x,y)是关于x的奇函数或偶函数。
2如果被积函数f(x,y)关于y的奇偶性独立于x，即f(x,-y) = -f(x,y)或f(x,-y) = f(x,y)，那么f(x,y)是关于y的奇函数或偶函数。
3如果被积函数f(x,y)同时关于x和y具有奇偶性，那么可以分别判断其关于x和y的奇偶性。
例如，考虑被积函数f(x,y) = x^2y - y^3：
f(-x,y) = (-x)^2y - y^3 = x^2y - y^3 = f(x,y)，因此f(x,y)关于x是偶函数。
f(x,-y) = x^2(-y) - (-y)^3 = -x^2y + y^3 = -f(x,y)，因此f(x,y)关于y是奇函数。
因此，f(x,y) = x^2y - y^3是关于x的偶函数和关于y的奇函数本回答被提问者采纳