解：首先，根据费马小定理，如果整数a与素数p互素，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。对于素数p，取a=10，因此10^(p-1) ≡ 1 (mod p)。如果存在一个正整数e，使得10^e/p - 1/p为整数，那么e就是1/p的循环节（不一定是最小的），由费马小定理知，在不大于p-1的正整数中，e是存在的。这意味着1/p的第一个循环节正好在小数点后面，是个纯循环小数。
p-1是一个和数，所以10^(p-1) - 1可以进行因式分解，具体分解方式不详。其中p1是p-1的因数。如果有一个比p-1小的e满足“10^e/p - 1/p为整数”，那么这个e一定是p的约数。（重要）
引理：一个循环小数除以2，其循环节大小不变。
证明：
1. 如果循环节是偶数，显然不变。
2. 如果循环节是奇数，可以将最后的奇数码拿出一个1给后一个循环节，这样新循环节又是偶数，但会有重合。例如0.45454545...就变成0.44+0.0144+0.00144...，循环节部分不受影响。
2008=2^3×251，251是素数，因此只需求得1/251的循环节长度即可（除以2三次就是1/2008）。
根据上述部分，10^250 ≡ 1 (mod 251)，如果有更小的e满足10^e ≡ 1 (mod 251)，那么e是250的约数，250的约数有2，5，10，25，50，250。
同余式可以相乘，即如果a ≡ c (mod m)，b ≡ d (mod m)，则ab ≡ cd (mod m)。
10^3 ≡ -4 (mod 251)，所以10^5 ≡ -400 ≡ 102 (mod 251)，不满足要求。
10^10 ≡ 10404 ≡ 113 (mod 251)，不满足要求。
10^20 ≡ 12769 ≡ -32 (mod 251)，不满足要求。
10^25 ≡ -3264 ≡ -1 (mod 251)，不满足要求。
10^50 ≡ 1 (mod 251)，满足要求。
所以循环节的长度就是50。
标准答案：2008=2^3×251，φ(251)=250。250的正因数有1、2、5、10、25、50、125、250，x取上述正因数并且满足10^x ≡ 1 (mod 251)的最小的x是50，因此1/2008的循环节长度是50。
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