内切圆半径万能公式是什么？

Question

如题所述

Answer 1

内切圆半径公式为r=（a+b-c）/2(a,b为直角边，c为斜边)。

这个公式和海伦公式非常近似，海伦公式是这样的：S=根号内(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中S是三角形的面积，p为半周长，即p=(a+b+c)/2，因此海伦公式也可以化为S=1/4倍根号内((a+b+c)(a+b-a)(a+c-b)(b+c-a))。

或者反过来，我们可以把三角形内切圆半径公式化为r=根号内((p-a)(p-b)(p-c)/p)。

相关解法

们可以发现，这两个公式是可以互相证明的，因为三角形的面积可以表示为内切圆半径与周长的积的二分之一，即S=pr。

这样由三角形内切圆半径公式，就可以证明海伦公式。而由r=S/p，就可以根所海伦公式证明三角形内切圆半径公式了。也可以说，三角形内切圆半径公式，等价于海伦公式。

接下来提供利用海伦公式证明三角形内切圆半径公式的完整过程：

证明：由S=pr，知r=S/p，又S=根号内(p(p-a)(p-b)(p-c))，所以r=根号内((p-a)(p-b)(p-c)/p)，即r=1/2倍根号内[(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/(a+b+c)]。

Answer 2

内切圆半径公式为r=（a+b-c）/2(a,b为直角边，c为斜边)。