线性无关向量和矩阵相乘，不会改变矩阵的秩吗？

Question

（a2-a1,a3-a1）=（a1,a2,a3）A，其中a1,a2,a3是线性无关的列向量(并没有说明向量的元素是几个)，那么R(A)=R（a2-a1,a3-a1）
，这个是您在2011年回答的一个问题中出现的，我想不在明白为什么？

Answer 1

这个问题真好，我刚思考了这个问题
a1,a2,a3是线性无关的列向量，这些向量元素至少是3个。

1.如果元素等于3个，那结论很明显。（a1,a2,a3）是可逆矩阵，相当于对A做行变换，不改变A的秩

2.如果元素大于3个，设B=（a1,a2,a3），对B进行初等行变换，分块成
（C）
（D） 看的时候上下两行括号看成一个，其中C是3*3的可逆矩阵
设 M=（a1,a2,a3）A 那么 M=（CA）
（DA）
R(M)≥R(CA)=R(A)，
又因为M=（a1,a2,a3）A ，所以 R(M)≤R(A)（矩阵M的行是A矩阵行向量 的线性组合）

综上 R(M)=R(A)