绕x轴旋转时，旋转体形状类似于圆环(x = 0处实心)；外径为R = 2 - x² ，内径为r = x²; 截面积为S = π(R² - r²) = π[(2 - x²)² - (x²)²]，所以是减，但积分区间相同
V = ∫₋₁¹π[(2 - x²)² - (x²)²]dx
绕y轴旋转时，旋转体是实体，此时用y为自变量较为简单。在y处的截面积在[0, 1], [1, 2]内不同
y在[0, 1]时, 截面半径由y = x² 确定, r = x = √y
y在[1, 2]时, 截面半径由y = 2 - x² 确定, r = x = √(2 - y)
所以要分段积分。
V = ∫₋₁¹π[(2 - x²)² - (x²)²]dx
绕y轴旋转时，旋转体是实体，此时用y为自变量较为简单。在y处的截面积在[0, 1], [1, 2]内不同
y在[0, 1]时, 截面半径由y = x² 确定, r = x = √y
y在[1, 2]时, 截面半径由y = 2 - x² 确定, r = x = √(2 - y)
所以要分段积分。
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第1个回答 2013-07-08
学了很久了，忘得差不多，但看下还是懂了。公式记得是绕x就对x积分=π∫（a，b）f（x）²dx来着
1·绕X轴旋转的时候对X积分，y=2-X²在（-1，1）不是会形成一个椭球体，当然是砍掉两边的，中间y=x²旋转出来是一个沙漏的状空白当然要减掉
2·绕y旋转的时候，分成两部分算，其实都相等，直接乘2不一样，显然对称啊。课本上写的是中间划一条线，上半y=2-X²和y=1围城的图形对y积分，y当然在（1，2）啦下半就（0,1）咯
1·绕X轴旋转的时候对X积分，y=2-X²在（-1，1）不是会形成一个椭球体，当然是砍掉两边的，中间y=x²旋转出来是一个沙漏的状空白当然要减掉
2·绕y旋转的时候，分成两部分算，其实都相等，直接乘2不一样，显然对称啊。课本上写的是中间划一条线，上半y=2-X²和y=1围城的图形对y积分，y当然在（1，2）啦下半就（0,1）咯
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