平面向量等和线定理

Question

如题所述

Answer 1

平面向量共线定理表明，如果点P位于直线AB的外部，点C位于平面PAB内部，那么存在唯一一对实数x和y，使得向量PC可以表示为向量PA和向量PB的线性组合，即向量PC = x向量PA + y向量PB。这一对实数x和y满足条件x + y = 1。以下两个命题是等价的：Q1 Q2；Q1：点A、B、C共线；Q2：向量PA和向量PB的线性组合中，系数之和为1。
例题一解析：
1. 确定共线的三点（A、B、D）。
2. 利用角平分线的性质确定系数x与y的比例。
3. 解出系数组合。
然而，在实际问题中，并不总是可以直接应用共线定理，还需要灵活地进行变形。
例题二解析：
1. 分析：本题的关键是如何将三个向量统一到一个三角形中。通过平移，我们构造了与向量b相等的向量。但如果三点明显不共线怎么办？我们可以从共线定理的推导过程中寻找启示。考虑定理的局部推导（仅考虑A位于BC之间的情况）。我们知道一个向量可以通过平行四边形法则分解到两个方向上，从而得到满足方向要求的一组基底。以这组基底为基础，通过调整模长，可以构造出确定方向上新基底的线性组合。
2. 利用共线定理确定向量的线性组合相比平行四边形法则有两个主要优点：确定一条直线比确定一个平行四边形更为简单；这种方法确定的系数具有清晰的几何意义。